Dạng 2. Biểu thị một vecto theo một vectơ khác
Biểu thị một vectơ theo một vectơ cùng phương
Phương pháp: Sử dụng tính chất sau:
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ cùng hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=mb $.
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ ngược hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=-mb $.
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa, tính chất của các phép toán: phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một số với một vectơ.
- Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, hình bình hành.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 19
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$. Gọi $D,E$ tương ứng là trung điểm của $BC$, $CA$. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BE}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $D,E$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$, nên
$\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (1)
$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$. (2)
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EB}$ (3)
$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}$ (4)
$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (5)
Từ (1) và (3) suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BE}\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$.
Từ (3) và (4) suy ra $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}-2(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$.
Từ (4) và (5) suy ra $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AD}-(\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE})=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$.
