(CD10) Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $D,E,M,N$ thoả mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$ với $k$ là số thực. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EN}$ theo các vectơ $a=\overrightarrow{AB},b=\overrightarrow{AC}$ và tìm $k$ để ba điểm $D,E,N$ thẳng hàng.

Question

Dạng 2. Biểu thị một vecto theo một vectơ khác Biểu thị một vectơ theo một vectơ cùng phương Phương pháp: Sử dụng tính chất sau: - Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b
eq 0) $ cùng hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=mb $. - Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b
eq 0) $ ngược hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=-mb $. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa, tính chất của các phép toán: phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một số với một vectơ. - Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, hình bình hành. (CD10) Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $D,E,M,N$ thoả mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$ với $k$ là số thực. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EN}$ theo các vectơ $a=\overrightarrow{AB},b=\overrightarrow{AC}$ và tìm $k$ để ba điểm $D,E,N$ thẳng hàng.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $\overrightarrow{AN}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})=k(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC})=k(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})=\frac{2k}{3}a+\frac{k}{3}b$, $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{5}b-\frac{1}{3}a=-\frac{1}{3}a+\frac{2}{5}b$, $\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AN}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2k}{3}a+\frac{k}{3}b-\frac{2}{5}b=\frac{2k}{3}a+\frac{5k-6}{15}b$. Ba điểm phân biệt $D,E,N$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực $t$ thoả mãn $\overrightarrow{EN}=t\overrightarrow{DE}\Leftrightarrow\frac{2k}{3}a+\frac{5k-6}{15}b=t(-\frac{1}{3}a+\frac{2}{5}b)$ $\Leftrightarrow(\frac{2k}{3}+\frac{t}{3})a=-(\frac{5k-6}{15}-\frac{2t}{5})b$. Vì $a,b$ khác $0$ và không cùng phương nên $\frac{2k}{3}+\frac{t}{3}=\frac{5k-6}{15}-\frac{2t}{5}=0$. Suy ra $k=\frac{6}{17}$.

Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 18