Bài tập nâng cao · Bài 57
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 57
Một chuồng có $3$ con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất $5$ con thỏ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố: “Bắt 3 thỏ trắng cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ”.
$\Rightarrow\overline{A}$ là biến cố: “Bắt 3 thỏ trắng trong 3 lần hoặc 4 lần”.
TH1: Bắt 3 thỏ trắng trong 3 lần
$n(\Omega)=7\cdot6\cdot5$
$n(\overline{A})=3!\Rightarrow P=\frac{3!}{7\cdot6\cdot5}=\frac{1}{35}$
TH2: Bắt 3 thỏ trắng trong 4 lần
$n(\Omega)=7\cdot6\cdot5\cdot4$
Chọn 2 thỏ trắng từ 3 thỏ trắng có: $C_{3}^{2}$ cách
Xếp 3 thỏ trắng vào 3 vị trí có: $3!$ cách
Chọn 1 thỏ nâu từ 4 thỏ nâu có: $C_{4}^{1}$ cách
Xếp thỏ nâu vào vị trí còn lại có: 1 cách
$n(\overline{A})=C_{3}^{2}\cdot3!\cdot C_{4}^{1}\Rightarrow P=\frac{C_{3}^{2}\cdot3!\cdot C_{4}^{1}}{7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac{3}{35}$
Do đó: $P(\overline{A})=\frac{4}{35}\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{31}{35}$.
$\Rightarrow\overline{A}$ là biến cố: “Bắt 3 thỏ trắng trong 3 lần hoặc 4 lần”.
TH1: Bắt 3 thỏ trắng trong 3 lần
$n(\Omega)=7\cdot6\cdot5$
$n(\overline{A})=3!\Rightarrow P=\frac{3!}{7\cdot6\cdot5}=\frac{1}{35}$
TH2: Bắt 3 thỏ trắng trong 4 lần
$n(\Omega)=7\cdot6\cdot5\cdot4$
Chọn 2 thỏ trắng từ 3 thỏ trắng có: $C_{3}^{2}$ cách
Xếp 3 thỏ trắng vào 3 vị trí có: $3!$ cách
Chọn 1 thỏ nâu từ 4 thỏ nâu có: $C_{4}^{1}$ cách
Xếp thỏ nâu vào vị trí còn lại có: 1 cách
$n(\overline{A})=C_{3}^{2}\cdot3!\cdot C_{4}^{1}\Rightarrow P=\frac{C_{3}^{2}\cdot3!\cdot C_{4}^{1}}{7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac{3}{35}$
Do đó: $P(\overline{A})=\frac{4}{35}\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{31}{35}$.