Bài tự luận · Bài 24
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 24
Một dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi
$ u_{ 1 } =a,u_{ n+1 } =qu_{ n } +d. $ Nếu $ q=1 $ ta có cấp số cộng với công sai $ d $, còn nếu $ d=0 $ ta có cấp số nhân với công bội $ q $.
a) Giả sử $ q\neq 1 $. Dự đoán công thức số hạng tổng quát $ u_{ n } $.
b) Thiết lập công thức tính tổng $ S_{ n } $ của $ n $ số hạng đầu của cấp số nhân cộng $ \left ( { u_{ n } } \right ) $.
$ u_{ 1 } =a,u_{ n+1 } =qu_{ n } +d. $ Nếu $ q=1 $ ta có cấp số cộng với công sai $ d $, còn nếu $ d=0 $ ta có cấp số nhân với công bội $ q $.
a) Giả sử $ q\neq 1 $. Dự đoán công thức số hạng tổng quát $ u_{ n } $.
b) Thiết lập công thức tính tổng $ S_{ n } $ của $ n $ số hạng đầu của cấp số nhân cộng $ \left ( { u_{ n } } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:
$ u_2=qu_1+d;\quad u_3=qu_2+d=q(qu_1+d)+d=q^2u_1+d(q+1);\quad u_4=qu_3+d=q(q^2u_1+qd+d)+d=q^3u_1+d(q^2+q+1)=q^3u_1+d\dfrac{1-q^3}{1-q}. $
Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát $ u_n $:
$ u_n=q^{n-1}u_1+d\left(q^{n-2}+q^{n-3}+\cdots+1\right)=q^{n-1}u_1+d\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}. $
b) Ta viết tổng $ n $ số hạng đầu như sau:
$ S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^{n}\left(q^{k-1}a+d\dfrac{1-q^{k-1}}{1-q}\right). $
Do đó
$ S_n=a\dfrac{1-q^n}{1-q}+\dfrac{d}{1-q}\left(n-\dfrac{1-q^n}{1-q}\right). $
$ u_2=qu_1+d;\quad u_3=qu_2+d=q(qu_1+d)+d=q^2u_1+d(q+1);\quad u_4=qu_3+d=q(q^2u_1+qd+d)+d=q^3u_1+d(q^2+q+1)=q^3u_1+d\dfrac{1-q^3}{1-q}. $
Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát $ u_n $:
$ u_n=q^{n-1}u_1+d\left(q^{n-2}+q^{n-3}+\cdots+1\right)=q^{n-1}u_1+d\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}. $
b) Ta viết tổng $ n $ số hạng đầu như sau:
$ S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^{n}\left(q^{k-1}a+d\dfrac{1-q^{k-1}}{1-q}\right). $
Do đó
$ S_n=a\dfrac{1-q^n}{1-q}+\dfrac{d}{1-q}\left(n-\dfrac{1-q^n}{1-q}\right). $