Bài tự luận · Bài 48
Dạng 2. Sử dụng quy tắc cộng để tính xác suất
Bài tự luận Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 48
(CTST11) Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ A $ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76". Gọi $ A_{ 1 } $ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4", $ A_{ 2 } $ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76 ".
Khi đó, ta có $ A=A_{ 1 } ∪A_{ 2 } $.
Biến cố $ A_{ 1 } $ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=\frac { 1 } { C_{ 40 } ^{ 2 } } $.
Biến cố $ A_{ 2 } $ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số $ (37;40),(38;40),(39;40) $ hoặc (38; 39). Do đó, $ P\left ( { A_{ 2 } } \right )=\frac { 4 } { C_{ 40 } ^{ 2 } } $.
Do $ A_{ 1 } $ và $ A_{ 2 } $ là hai biến cố xung khắc nên:
$ P(A)=P\left ( { A_{ 1 } ∪A_{ 2 } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )+P\left ( { A_{ 2 } } \right )=\frac { 1 } { 156 }. $
b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho $ 5;20 $ số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10. Gọi $ B $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Gọi $ B_{ 1 } $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5 ", $ B_{ 2 } $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2 ".
Khi đó, $ B $ là biến cố đối của biến cố $ B_{ 1 } ∪B_{ 2 } $.
Ta có
$ P\left ( { B_{ 1 } ∪B_{ 2 } } \right )=P\left ( { B_{ 1 } } \right )+P\left ( { B_{ 2 } } \right )-P\left ( { B_{ 1 } B_{ 2 } } \right )=\frac { C_{ 32 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 20 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }-\frac { C_{ 16 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }=\frac { 283 } { 390 }. $
Do đó, xác suất biến cố B “Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10 ” là
$ P(B)=1-P\left ( { B_{ 1 } ∪B_{ 2 } } \right )=\frac { 107 } { 390 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Khi đó, ta có $ A=A_{ 1 } ∪A_{ 2 } $.
Biến cố $ A_{ 1 } $ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=\frac { 1 } { C_{ 40 } ^{ 2 } } $.
Biến cố $ A_{ 2 } $ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số $ (37;40),(38;40),(39;40) $ hoặc (38; 39). Do đó, $ P\left ( { A_{ 2 } } \right )=\frac { 4 } { C_{ 40 } ^{ 2 } } $.
Do $ A_{ 1 } $ và $ A_{ 2 } $ là hai biến cố xung khắc nên:
$ P(A)=P\left ( { A_{ 1 } ∪A_{ 2 } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )+P\left ( { A_{ 2 } } \right )=\frac { 1 } { 156 }. $
b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho $ 5;20 $ số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10. Gọi $ B $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Gọi $ B_{ 1 } $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5 ", $ B_{ 2 } $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2 ".
Khi đó, $ B $ là biến cố đối của biến cố $ B_{ 1 } ∪B_{ 2 } $.
Ta có
$ P\left ( { B_{ 1 } ∪B_{ 2 } } \right )=P\left ( { B_{ 1 } } \right )+P\left ( { B_{ 2 } } \right )-P\left ( { B_{ 1 } B_{ 2 } } \right )=\frac { C_{ 32 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 20 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }-\frac { C_{ 16 } ^{ 2 } } { C_{ 40 } ^{ 2 } }=\frac { 283 } { 390 }. $
Do đó, xác suất biến cố B “Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10 ” là
$ P(B)=1-P\left ( { B_{ 1 } ∪B_{ 2 } } \right )=\frac { 107 } { 390 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $