Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các mặt là hình thoi. Các cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ của hình hộp tạo với nhau góc $120^{\circ}$, tam giác $CB'D'$ có diện tích bằng $\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{4}$. Gọi $S$ là tổng diện tích các mặt hình hộp, khi đó $S = \sqrt{m}a^{2}$ ($m \in \mathbb{Z}$). Tính $\sqrt[3]{m}$.

Lời giải Vì hình hộp có tất cả các mặt là hình thoi cạnh $a$, nên sáu mặt của hình hộp bằng nhau. Do đó $S = 6 \cdot S_{ABCD} = 12 \cdot S_{ABD}$. Vì $\widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = \widehat{BAD} = 120^{\circ} \Rightarrow \Delta B'A'D' = \Delta B'BC = \Delta D'DC$ nên $\Delta B'D'C$ đều. Lại có: $$ S_{\Delta B'D'C} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{4} \Leftrightarrow B'D'^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{4} \Rightarrow B'D'^{2} = 3a^{2} $$ Trong tam giác $C'B'D'$ theo định lý cosin ta có: $$ B'D'^{2} = D'C'^{2} + B'C'^{2} - 2D'C' \cdot B'C' \cdot \cos 120^{\circ} $$ $$ \Leftrightarrow 3B'C'^{2} = 3a^{2} \Rightarrow B'C' = C'D' = a $$ Nên: $$ S = 12 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin 120^{\circ} = 3\sqrt{3}a^{2} = \sqrt{27}a^{2} \Rightarrow m = 27 $$ Vậy $\sqrt[3]{m} = \sqrt[3]{27} = 3$.