Dạng 1. Xác định vectơ; xác định phương, hướng của các vectơ, độ dài của vectơ, hai vectơ bằng nhau
Bài tự luận Các khái niệm mở đầu về vectơ · Bài 24
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ không vuông, với trực tâm $H$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường kính $AA'$ của đường tròn $(O)$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A'C}$.
b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $AA'$ là đường kính của $(O)$, nên $\widehat{ABA'}=\widehat{ACA'}=90^\circ$.
Suy ra $A'C\perp AC$ (1) và $A'B\perp AB$ (2).
Do H là trực tâm của tam giác $ABC$ nên
$BH\perp AC$ (3) và $CH\perp AB$ (4).
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra tứ giác $BHCA'$ là hình bình hành.
Do đó $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A'C}$.
b) Do $AA'$ là đường kính của $(O)$, nên $O$ là trung điểm của $AA'$ (5).
Do $BHCA'$ là hình bình hành, nên trung điểm $M$ của $BC$ cũng là trung điểm của $HA'$ (6).
Từ (5) và (6) suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác AHA'.
Do đó $OM\parallel AH$ và $OM=\frac{1}{2}AH$.
Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng và $\|\overrightarrow{AH}\|=2\|\overrightarrow{OM}\|$.
