Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 61

Theo giả thiết $ (\alpha )∩DD'=N,(\alpha )∩CD=P,(\alpha )∩BC=Q $. Từ tính chất của hình lập phương ta có $ (ACC')⊥BD $ suy ra $ BD⊥AC' $ do đó $ BD{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }(\alpha ) $, từ đây ta suy ra $ MN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD;PQ{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD $ do vậy ta có $ DN=2ND' $.
Ta xác định vị trí $ P,{ \rm{ } }Q $ như sau: Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AB⊥B'C \\ BC'⊥B'C \end{array} \right.\Rightarrow B'C⊥(ABC')\Rightarrow B'C⊥AC' $ vì vậy $ (\alpha ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }B'C $ do đó $ MQ{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }B'C $, vậy ta được $ BQ=2QC $, và theo trên $ PQ{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }BD $ ta lại có $ DP=2PC $.
Vậy các điểm $ M,N,P,Q $ hoàn toàn được xác định.
Gọi $ S $ là điểm trên cạnh $ CC' $ thỏa mãn $ CS=2SC' $ và $ R $ là điểm trên đường thẳng $ CC' $ thỏa mãn $ MB'CR $ là hình bình hành. Khi đó ta có $ R $ nằm trên mặt phẳng $ (\alpha ) $ và $ (MNS){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }(A'B'C'D') $
Đặt $ V_{ 0 } =V_{ RCPQ } ;V_{ 2 } =V_{ C'MSN } $ khi đó $ V_{ 1 } =V_{ RMNS } +V_{ C'MSN } -V_{ RCPQ } $
Đặt cạnh của hình lập phương là $ AB=3x $ ta có
$ \left \{ \begin{array}{l} V=(3x) ^ { 3 } =27x ^ { 3 } \\ V_{ RMNS } =\frac { 1 } { 6 }SN.SM.SR=\frac { 9 } { 2 }x ^ { 3 } \\ V_{ C'MSN } =\frac { 1 } { 6 }SM.SN.SC'=\frac { 3x ^ { 3 } } { 2 } \\ V_{ RCPQ } =\frac { 1 } { 6 }CP.CQ.CR=\frac { x ^ { 3 } } { 6 } \end{array} \right. $ do đó $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { \frac { 9 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 3 } -\frac { x ^ { 3 } } { 6 } } { 27x ^ { 3 } }=\frac { 35 } { 162 } $
Vậy $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { 35 } { 162 } $.