Cho hình chóp tam giác đều$ S.ABC $có cạnh bên tạo với đường cao một góc$ 30 ^ { o } $, $ O $là trọng tâm tam giác$ ABC $. Một hình chóp đều thứ hai$ O.A'B'C' $có$ S $là tâm của tam giác$ A'B'C' $và cạnh bên của hình chóp$ O.A'B'C' $ tạo với đường cao một góc$ 60 ^ { o } $sao cho mỗi cạnh bên $ SA,SB,SC $lần lượt cắt các cạnh bên$ OA',OB',OC'. $Gọi$ V_{ 1 } $là phần thể tích phần chung của hai khối chóp$ S.ABC $và$ O.A'B'C', $$ V_{ 2 } $ là thể tích khối chóp$ S.ABC $. Tỉ số $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $ bằng:

Question

Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác Cho hình chóp tam giác đều$ S.ABC $có cạnh bên tạo với đường cao một góc$ 30 ^ { o } $, $ O $là trọng tâm tam giác$ ABC $. Một hình chóp đều thứ hai$ O.A'B'C' $có$ S $là tâm của tam giác$ A'B'C' $và cạnh bên của hình chóp$ O.A'B'C' $ tạo với đường cao một góc$ 60 ^ { o } $sao cho mỗi cạnh bên $ SA,SB,SC $lần lượt cắt các cạnh bên$ OA',OB',OC'. $Gọi$ V_{ 1 } $là phần thể tích phần chung của hai khối chóp$ S.ABC $và$ O.A'B'C', $$ V_{ 2 } $ là thể tích khối chóp$ S.ABC $. Tỉ số $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $ bằng:

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image465.png] Gọi$ E=OA'∩SA;F=OB'∩SB;G=OC'∩SC $ Theo hình vẽ thể tích $ V_{ 1 } =V_{ SEFGO } ;V_{ 2 } =V_{ S.ABC } $ Đặt$ SO=x $ Do $ S.ABC $là hình chóp đều và$ O $ là tâm tam giác$ ABC $nên$ SO⊥\left ( { ABC } ight ) $ Do $ O.A'B'C' $là hình chóp đều và$ S $là tâm tam giác$ A'B'C' $nên$ OS⊥\left ( { A'B'C' } ight ) $ Từ đó ta có$ \left ( { ABC } ight )//\left ( { A'B'C' } ight )\Rightarrow OA//SA' $và$ SO⊥OA;OS⊥SA' $ [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 3/image479.png] Ta có theo dữ kiện bài toán ta có$ \widehat { ASO }=30 ^ { o } ; \widehat { A'OS }=60 ^ { o } $ Ta có $ \frac { SE } { SO }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\Rightarrow SE=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 }\Rightarrow OE=\frac { x } { 2 } \ \frac { SO } { SA }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\Rightarrow SA=\frac { 2x\sqrt[] { 3 } } { 3 } \ \frac { SO } { OA' }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow OA'=2x \ \frac { OA } { SA }=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow OA=\frac { SA } { 2 }=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 3 } \ \frac { SA' } { SO }=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow SA'=x\sqrt[] { 3 } $ Ta có: $ AB.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=OA\Rightarrow AB=OA.\sqrt[] { 3 }=x \ A'B'.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }=SA'\Rightarrow A'B'=SA'.\sqrt[] { 3 }=3x $ Ta có: $ V_{ 2 } =V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.x.\frac { x ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { x ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } \ V_{ O.A'B'C' } =\frac { 1 } { 3 }.x.\frac { \left ( { 3x } ight ) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { x ^ { 3 } .3\sqrt[] { 3 } } { 4 } $ Ta có: $ \frac { V_{ S.EFG } } { V_{ S.ABC } }=\frac { SE } { SA }.\frac { SF } { SB }.\frac { SG } { SC }=\left ( { \frac { SE } { SA } } ight ) ^ { 3 } =\left ( { \frac { \frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \frac { 2x\sqrt[] { 3 } } { 3 } } } ight ) ^ { 3 } =\frac { 27 } { 64 }\Rightarrow V_{ S.EFG } =\frac { 27 } { 64 }.\frac { x ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } \ \frac { V_{ O.EFG } } { V_{ O.A'B'C' } }=\frac { OE } { OA' }.\frac { OF } { OB' }.\frac { OG } { OC' }=\left ( { \frac { OE } { OA' } } ight ) ^ { 3 } =\left ( { \frac { \frac { x } { 2 } } { 2x } } ight ) ^ { 3 } =\frac { 1 } { 64 }\Rightarrow V_{ O.EFG } =\frac { 1 } { 64 }V_{ O.A'B'C' } =\frac { 1 } { 64 }.\frac { x ^ { 3 } .3\sqrt[] { 3 } } { 4 } $ $ V_{ 1 } =V_{ S.EFG } +V_{ O.EFG } =\frac { 3\sqrt[] { 3 }x ^ { 3 } } { 64 }\Rightarrow \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { \frac { 3\sqrt[] { 3 }x ^ { 3 } } { 64 } } { \frac { x ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 12 } }=\frac { 9 } { 16 } $

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 62