Bài tự luận · Bài 21
Dạng 2. Xác định hệ số của $ x ^ { k } $ trong khai triển biểu thức $ (ax+b) ^ { n } $ với $ n=4 $, $ n=5 $
Bài tự luận Nhị thức Newton · Bài 21
(CTST10) Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(2x+1)(x-1)^5$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có $(x-1)^5=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1\quad(*)$.
Khi nhân biểu thức $2x+1$ với biểu thức bên phải của $(*)$, ta được hệ số của $x^4$ bằng $2\cdot10+1\cdot(-5)=15$.
Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(2x+1)(x-1)^5$ bằng 15.
Nhận xét: Nếu tìm tất cả các số hạng của khai triển, ta được
$(2x+1)(x-1)^5=(2x+1)(x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1)=2x^6-9x^5+15x^4-10x^3+3x-1$.
Từ đó, cũng tìm được hệ số của $x^4$ bằng 15.
Khi nhân biểu thức $2x+1$ với biểu thức bên phải của $(*)$, ta được hệ số của $x^4$ bằng $2\cdot10+1\cdot(-5)=15$.
Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(2x+1)(x-1)^5$ bằng 15.
Nhận xét: Nếu tìm tất cả các số hạng của khai triển, ta được
$(2x+1)(x-1)^5=(2x+1)(x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1)=2x^6-9x^5+15x^4-10x^3+3x-1$.
Từ đó, cũng tìm được hệ số của $x^4$ bằng 15.