Bài tự luận · Bài 53
DẠNG 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 53
(KNTT10) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-1),B(2;-2)$ và $C(0;-1)$.
a) Tính độ dài đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
a) Tính độ dài đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Độ dài đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến cạnh $BC$.
Đường thẳng $BC$ nhận $\overset\rightarrow { BC }=(-2;1)$ là một vectơ chỉ phương. Do đó $n=(1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $BC$. Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(2;-2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $n=(1;2)$ nên có phương trình tổng quát là $x+2y+2=0$
Theo công thức tính khoảng cách, ta có $d(A,BC)=\frac{\left| 2+2\cdot (-1)+2 \right| }{\sqrt{1^{2} +2^{2} } }=\frac{2}{\sqrt{5} }$.
b) Ta có $BC=\sqrt{5}$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}d(A,BC)\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5} }\cdot \sqrt{5}=1$ (đvdt).
c) Ta có $AB=1,BC=\sqrt{5},AC=2$. Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{1}{\left( \frac { 1+\sqrt{5}+2 } { 2 } \right) }=\frac{2}{3+\sqrt{5} }=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (đvđd).
Lưu ý. Có thể nhận xét tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$ rồi áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải quyết bài toán.
Đường thẳng $BC$ nhận $\overset\rightarrow { BC }=(-2;1)$ là một vectơ chỉ phương. Do đó $n=(1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $BC$. Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(2;-2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $n=(1;2)$ nên có phương trình tổng quát là $x+2y+2=0$
Theo công thức tính khoảng cách, ta có $d(A,BC)=\frac{\left| 2+2\cdot (-1)+2 \right| }{\sqrt{1^{2} +2^{2} } }=\frac{2}{\sqrt{5} }$.
b) Ta có $BC=\sqrt{5}$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}d(A,BC)\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5} }\cdot \sqrt{5}=1$ (đvdt).
c) Ta có $AB=1,BC=\sqrt{5},AC=2$. Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{1}{\left( \frac { 1+\sqrt{5}+2 } { 2 } \right) }=\frac{2}{3+\sqrt{5} }=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (đvđd).
Lưu ý. Có thể nhận xét tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$ rồi áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải quyết bài toán.