Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 20
Cho $a,b,c,d$ là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:
a) $\left(ab+bc+ca\right)^{3}=abc\left(a+b+c\right)^{3}$
b) $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(ab+bc\right)^{2}$
c) $\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
d) $\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}+\left(d-b\right)^{2}=\left(a-d\right)^{2}$
e) $a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$
a) $\left(ab+bc+ca\right)^{3}=abc\left(a+b+c\right)^{3}$
b) $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left(ab+bc\right)^{2}$
c) $\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
d) $\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}+\left(d-b\right)^{2}=\left(a-d\right)^{2}$
e) $a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Xem lời giải
Lời giải
Vì $a,b,c$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có $ac=b^{2}$.
a) Ta có $abc\left(a+b+c\right)^{3}=b^{3}\left(a+b+c\right)^{3}=\left(ab+b^{2}+bc\right)^{3}=\left(ab+bc+ca\right)^{3}$ (đpcm).
b) Ta có: $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{4}+b^{2}c^{2}=a^{2}b^{2}+2b^{4}+b^{2}c^{2}$
$=a^{2}b^{2}+2ab.bc+b^{2}c^{2}=\left(ab+bc\right)^{2}$ (đpcm).
c) Ta có $\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left[\left(a+c\right)+b\right]\left[\left(a+c\right)-b\right]=\left(a+c\right)^{2}-b^{2}$
$=a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}=a^{2}+2b^{2}+c^{2}-b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (đpcm).
d) Vì $a,b,c,d$ lập thành CSN nên có: $a.d=bc,a.c=b^{2},b.d=c^{2}$
Khai triển: $\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}+\left(d-b\right)^{2}=a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+d^{2}-2bc-2ca-2bd$
$=a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+d^{2}-2ad-2b^{2}-2c^{2}$
$=a^{2}-2ad+d^{2}$
$=\left(a-d\right)^{2}$
e) Có: $a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{a^{2}c^{2}}{b}+\frac{a^{2}b^{2}}{c}$ (1). Ta có $ac=b^{2}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ac^{3}=b^{2}c^{2} \\ a^{3}c=b^{2}a^{2} \\ a^{2}c^{2}=b^{4} \end{array} \right.$
$\left(1\right)\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=\frac{ac^{3}}{a}+\frac{b^{4}}{b}+\frac{a^{3}c}{c}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$ (điều phải chứng minh).
a) Ta có $abc\left(a+b+c\right)^{3}=b^{3}\left(a+b+c\right)^{3}=\left(ab+b^{2}+bc\right)^{3}=\left(ab+bc+ca\right)^{3}$ (đpcm).
b) Ta có: $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{4}+b^{2}c^{2}=a^{2}b^{2}+2b^{4}+b^{2}c^{2}$
$=a^{2}b^{2}+2ab.bc+b^{2}c^{2}=\left(ab+bc\right)^{2}$ (đpcm).
c) Ta có $\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left[\left(a+c\right)+b\right]\left[\left(a+c\right)-b\right]=\left(a+c\right)^{2}-b^{2}$
$=a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}=a^{2}+2b^{2}+c^{2}-b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (đpcm).
d) Vì $a,b,c,d$ lập thành CSN nên có: $a.d=bc,a.c=b^{2},b.d=c^{2}$
Khai triển: $\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}+\left(d-b\right)^{2}=a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+d^{2}-2bc-2ca-2bd$
$=a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+d^{2}-2ad-2b^{2}-2c^{2}$
$=a^{2}-2ad+d^{2}$
$=\left(a-d\right)^{2}$
e) Có: $a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{a^{2}c^{2}}{b}+\frac{a^{2}b^{2}}{c}$ (1). Ta có $ac=b^{2}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ac^{3}=b^{2}c^{2} \\ a^{3}c=b^{2}a^{2} \\ a^{2}c^{2}=b^{4} \end{array} \right.$
$\left(1\right)\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right)=\frac{ac^{3}}{a}+\frac{b^{4}}{b}+\frac{a^{3}c}{c}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$ (điều phải chứng minh).