Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 21
Cho tổng $A=1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots 1}_{n}$. Chứng minh rằng $A=\frac{10^{n+1}-9\left(n+1\right)-1}{81}$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $A=1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots 1}_{n}\Leftrightarrow 9A=9+99+999+\cdots+\underbrace{99\ldots 9}_{n}$
$=\left(10-1\right)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\cdots+\left(10^{n}-1\right)$
$=\left(10+10^{2}+10^{3}+\cdots+10^{n}\right)-\underbrace{\left(1+1+\cdots+1\right)}_{n}$
$=\frac{10\left(1-10^{n}\right)}{1-10}-n=\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}$
Vậy $A=\frac{10^{n+1}-9\left(n+1\right)-1}{81}$
$=\left(10-1\right)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\cdots+\left(10^{n}-1\right)$
$=\left(10+10^{2}+10^{3}+\cdots+10^{n}\right)-\underbrace{\left(1+1+\cdots+1\right)}_{n}$
$=\frac{10\left(1-10^{n}\right)}{1-10}-n=\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}$
Vậy $A=\frac{10^{n+1}-9\left(n+1\right)-1}{81}$