Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 22
Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_1\neq 0$ và $q\neq 0,q\neq \pm 1$. Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên. Chứng minh: $S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=\left(S_{2n}-S_n\right)^{2}$
Xem lời giải
Lời giải
$VT=S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=\frac{u_1\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\left(\frac{u_1\left(1-q^{3n}\right)}{1-q}-\frac{u_1\left(1-q^{2n}\right)}{1-q}\right)$
$=\frac{u_1^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}\cdot\left(1-q^{n}\right)\cdot\left(q^{2n}-q^{3n}\right)=\frac{u_1^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}\cdot\left(1-q^{n}\right)\cdot q^{2n}\cdot\left(1-q^{n}\right)=\left(\frac{u_1q^{n}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\right)^{2}$ (1)
$VP=\left(S_{2n}-S_n\right)^{2}=\left[\frac{u_1\left(1-q^{2n}\right)}{1-q}-\frac{u_1\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\right]^{2}=\left\{\frac{u_1}{1-q}\left[\left(1-q^{n}\right)\left(1+q^{n}\right)-\left(1-q^{n}\right)\right]\right\}^{2}$
$=\left[\frac{u_1}{1-q}q^{n}\left(1-q^{n}\right)\right]^{2}$ (2)
Kết luận từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
$=\frac{u_1^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}\cdot\left(1-q^{n}\right)\cdot\left(q^{2n}-q^{3n}\right)=\frac{u_1^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}\cdot\left(1-q^{n}\right)\cdot q^{2n}\cdot\left(1-q^{n}\right)=\left(\frac{u_1q^{n}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\right)^{2}$ (1)
$VP=\left(S_{2n}-S_n\right)^{2}=\left[\frac{u_1\left(1-q^{2n}\right)}{1-q}-\frac{u_1\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\right]^{2}=\left\{\frac{u_1}{1-q}\left[\left(1-q^{n}\right)\left(1+q^{n}\right)-\left(1-q^{n}\right)\right]\right\}^{2}$
$=\left[\frac{u_1}{1-q}q^{n}\left(1-q^{n}\right)\right]^{2}$ (2)
Kết luận từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.