Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 23
Cho ba số dương $a,b,c$ lập thành CSN. Chứng minh:
$\frac{1}{3}\left(a+b+c\right),\sqrt{\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)},\sqrt[3]{abc}$ cũng lập thành CSN.
$\frac{1}{3}\left(a+b+c\right),\sqrt{\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)},\sqrt[3]{abc}$ cũng lập thành CSN.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ac=b^{2}$ (tính chất CSN)
Ta phải chứng minh: $\frac{1}{3}\left(a+b+c\right).\sqrt[3]{abc}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\sqrt[3]{b^{3}}=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(a+b+c\right)b=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(ab+b^{2}+cb\right)=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(ab+ac+cb\right)=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)$ (đpcm).
Ta phải chứng minh: $\frac{1}{3}\left(a+b+c\right).\sqrt[3]{abc}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\sqrt[3]{b^{3}}=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(a+b+c\right)b=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(ab+b^{2}+cb\right)=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(ab+ac+cb\right)=\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)$ (đpcm).