Bài tự luận · Bài 38
Dạng 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
Bài tự luận Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 38
(KNTT11) Cho hàm số $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tính $f''(0)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$f'(x)=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\f''(x)=-\frac{\left(\sqrt{1+x^2}\right)'}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}=-\frac{1}{1+x^2}\cdot\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=-\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$
Thay $x=0$ vào biểu thức trên ta được $f''(0)=0$.
$f'(x)=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\f''(x)=-\frac{\left(\sqrt{1+x^2}\right)'}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}=-\frac{1}{1+x^2}\cdot\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=-\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$
Thay $x=0$ vào biểu thức trên ta được $f''(0)=0$.