Bài tập nâng cao · Bài 32
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 32
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Gọi $M,N$ là các điểm sao cho $3\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC}$, $5\overrightarrow{AN}=4\overrightarrow{AC}$.
a) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}$.
b) Chứng minh $AM$ vuông góc với $BN$.
a) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}$.
b) Chứng minh $AM$ vuông góc với $BN$.
Xem lời giải
Lời giải
a)
$\bullet\quad\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}=a\cdot a\cos60^\circ=\dfrac{a^2}{2}$.
$\bullet\quad\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=CB\cdot CA\cos\widehat{BCA}=a\cdot a\cos60^\circ=\dfrac{a^2}{2}$.
b)
$\bullet\quad3\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow3(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB})=2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AC}+\dfrac13\overrightarrow{AB}$.
$\bullet\quad5\overrightarrow{AN}=4\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow5(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA})=4\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac45\overrightarrow{AC}$.
Ta có: $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BN}=(\dfrac23\overrightarrow{AC}+\dfrac13\overrightarrow{AB})\cdot(-\overrightarrow{AB}+\dfrac45\overrightarrow{AC})$
$=-\dfrac23\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac8{15}\overrightarrow{AC}^2-\dfrac13\overrightarrow{AB}^2+\dfrac4{15}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$
$=-\dfrac25\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac8{15}\overrightarrow{AC}^2-\dfrac13\overrightarrow{AB}^2$
$=-\dfrac25\cdot\dfrac{a^2}{2}+\dfrac8{15}a^2-\dfrac13a^2=0\Rightarrow\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{BN}\Leftrightarrow AM$ vuông góc với $BN$.