Bài tập nâng cao · Bài 33
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 33
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác $ABC$ các tam giác vuông cân đỉnh $A$ là $ABD$ và $ACE$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Chứng minh rằng $AM$ vuông góc với $DE$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta chứng minh $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DE}=0$. Thật vậy:
$2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=AB\cdot AE\cos(90^\circ+A)-AC\cdot AD\cos(90^\circ+A)=0$ (do $AB=AD$, $AE=AC$).