Bài tập nâng cao · Bài 34
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 34
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $HC$. Chứng minh $BI\perp AJ$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AJ}=\dfrac12(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC})$; $\overrightarrow{BI}=\dfrac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH})$.
$\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{BI}=\dfrac14(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH})$
$=\dfrac14(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BH})$
$=\dfrac14(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BH})=\dfrac14(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{BH})$
$=\dfrac14(-\overrightarrow{AH}^2-\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC})=\dfrac14(-AH^2-HB\cdot HC\cos\widehat{BHC})$
$=\dfrac14(-AH^2+HB\cdot HC)=0$.