Bài tập nâng cao · Bài 35
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 35
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $BC$, $D$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AC$, $M$ là trung điểm của đoạn $HD$. Chứng minh $AM$ vuông góc với $DB$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $M$ là trung điểm của $HD$, nên có $2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}$.
Ta có $2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD})$
$=\underbrace{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BH}}_{0}+\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BH}+\underbrace{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{HD}}_{0}$
$=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HD}+(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD})\cdot\overrightarrow{BH}$
$=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HD}+\underbrace{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BH}}_{0}+\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{BH}$
$=\overrightarrow{HD}\cdot(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH})=\overrightarrow{HD}\cdot(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{BD}$. Vậy $AM$ vuông góc với $BD$.