Cho tứ giác $ABCD$ có $E$ là giao của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ và $H,K$ là trực tâm của các tam giác $ABE,CDE$.
a) Chứng minh $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$.
b) Chứng minh $HK\perp IJ$.

Question

DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc. Cho tứ giác $ABCD$ có $E$ là giao của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ và $H,K$ là trực tâm của các tam giác $ABE,CDE$. a) Chứng minh $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$. b) Chứng minh $HK\perp IJ$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image526.png] a) Hạ $AA',CC'$ lần lượt vuông góc $BD$, ta có: $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{A'C'}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$. b) Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{BD}$. Thành thử $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{HK}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}}2=\dfrac12(\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{AC})=0$. Vậy $HK\perp IJ$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 36