Bài tập nâng cao · Bài 37
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG. Điều kiện $\overrightarrow a\perp\overrightarrow b\Leftrightarrow\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$. Điều kiện $AB\perp CD\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vuông góc.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 37
Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau và cắt nhau tại $M$. Gọi $P$ là trung điểm của cạnh $AD$. Chứng minh $MP$ vuông góc với $BC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MD}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $2\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})\cdot(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})$
$=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\underbrace{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}_{0}+\underbrace{\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MC}}_{0}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$
$=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$.
Do đó $MP\perp BC\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$.
$=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\underbrace{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}_{0}+\underbrace{\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MC}}_{0}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$
$=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$.
Do đó $MP\perp BC\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{MB}$.