Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 14
Cho hàm số $y=\frac{2m-x}{x+m}$ có đồ thị là $(C_m)$. Cho $A(0;1)$ và $I$ là tâm đối xứng. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ tồn tại điểm $B$ sao cho tam giác $ABI$ vuông cân tại $A$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $B\left(b;\frac{2m-b}{b+m}\right)\in(C_m)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b;\frac{m-2b}{m+b}\right)$. Ta có $I(-m;-1)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=(-m;-2)$.
Tam giác $ABI$ vuông cân tại $A\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}=0,\\AB^2=AI^2.\end{cases}$
$\begin{cases}mb+2\frac{m-2b}{m+b}=0,\\m^2+4=b^2+\left(\frac{m-2b}{m+b}\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{m-2b}{m+b}=-\frac{bm}{2}\quad(1),\\m^2+4=b^2+\frac{m^2b^2}{4}\quad(2).\end{cases}$
$(2)\Leftrightarrow m^2(b^2-4)+4(b^2-4)=0\Leftrightarrow(b^2-4)(m^2+4)=0\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow b=\pm2$.
* $b=2$ thay vào (1) ta được: $\frac{m-4}{m+2}=-m\Leftrightarrow m^2+3m-4=0\Leftrightarrow m=1,m=-4$.
* $b=-2$ thay vào (1) ta được: $\frac{m+4}{m-2}=m\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1,m=4$.
Vậy $m=\pm1,m=\pm4$ là những giá trị cần tìm.
Tam giác $ABI$ vuông cân tại $A\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}=0,\\AB^2=AI^2.\end{cases}$
$\begin{cases}mb+2\frac{m-2b}{m+b}=0,\\m^2+4=b^2+\left(\frac{m-2b}{m+b}\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{m-2b}{m+b}=-\frac{bm}{2}\quad(1),\\m^2+4=b^2+\frac{m^2b^2}{4}\quad(2).\end{cases}$
$(2)\Leftrightarrow m^2(b^2-4)+4(b^2-4)=0\Leftrightarrow(b^2-4)(m^2+4)=0\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow b=\pm2$.
* $b=2$ thay vào (1) ta được: $\frac{m-4}{m+2}=-m\Leftrightarrow m^2+3m-4=0\Leftrightarrow m=1,m=-4$.
* $b=-2$ thay vào (1) ta được: $\frac{m+4}{m-2}=m\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1,m=4$.
Vậy $m=\pm1,m=\pm4$ là những giá trị cần tìm.