Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 13
Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$ $(C)$.
a. Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị $(C)$ của hàm số đến hai đường tiệm cận của nó là hằng số.
b. Tìm những điểm trên $(C)$ sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
a. Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị $(C)$ của hàm số đến hai đường tiệm cận của nó là hằng số.
b. Tìm những điểm trên $(C)$ sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Ta có $\lim_{x\to1^+}y=+\infty;\lim_{x\to1^-}y=-\infty$.
Vậy $x=1$ $(\Delta_1)$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác $y=x-1+\frac4{x-1}$.
Suy ra $\lim_{x\to\infty}[y-(x-1)]=\lim_{x\to\infty}\frac4{x-1}=0$.
Vậy $y=x-1$ hay $x-y-1=0$ $(\Delta_2)$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
a. Gọi $M(x_0,y_0)\in C$. Khi đó $y_0=x_0-1+\frac4{x_0-1}$.
Khi đó
$d_1=d(M,\Delta_1)=|x_0-1|;\quad d_2=d(M,\Delta_2)=\frac{|x_0-y_0-1|}{\sqrt2}=\frac{\left|\frac4{x_0-1}\right|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2|x_0-1|}$.
Suy ra $d_1\cdot d_2=|x_0-1|\cdot\frac4{\sqrt2|x_0-1|}=\frac4{\sqrt2}$ là hằng số.
b. Ta có $d_1+d_2=|x_0-1|+\frac4{\sqrt2|x_0-1|}\geq2\sqrt{|x_0-1|\cdot\frac4{\sqrt2|x_0-1|}}=\frac4{\sqrt[4]2}$.
Vậy $d_1+d_2$ đạt giá trị min khi $|x_0-1|=\frac4{\sqrt2|x_0-1|}$.
Suy ra $(x_0-1)^2=\frac4{\sqrt2}$.
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_0-1=\frac2{\sqrt[4]2}\Leftrightarrow x_0=1+\frac2{\sqrt[4]2},\ y_0=\frac2{\sqrt[4]2}+2\sqrt[4]2,\\x_0-1=-\frac2{\sqrt[4]2}\Leftrightarrow x_0=1-\frac2{\sqrt[4]2},\ y_0=-\frac2{\sqrt[4]2}-2\sqrt[4]2.\end{cases}$
Do đó các điểm cần tìm là:
$M_1\left(1+\frac2{\sqrt[4]2};\frac2{\sqrt[4]2}+2\sqrt[4]2\right);M_2\left(1-\frac2{\sqrt[4]2};-\frac2{\sqrt[4]2}-2\sqrt[4]2\right)$.
Ta có $\lim_{x\to1^+}y=+\infty;\lim_{x\to1^-}y=-\infty$.
Vậy $x=1$ $(\Delta_1)$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác $y=x-1+\frac4{x-1}$.
Suy ra $\lim_{x\to\infty}[y-(x-1)]=\lim_{x\to\infty}\frac4{x-1}=0$.
Vậy $y=x-1$ hay $x-y-1=0$ $(\Delta_2)$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
a. Gọi $M(x_0,y_0)\in C$. Khi đó $y_0=x_0-1+\frac4{x_0-1}$.
Khi đó
$d_1=d(M,\Delta_1)=|x_0-1|;\quad d_2=d(M,\Delta_2)=\frac{|x_0-y_0-1|}{\sqrt2}=\frac{\left|\frac4{x_0-1}\right|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2|x_0-1|}$.
Suy ra $d_1\cdot d_2=|x_0-1|\cdot\frac4{\sqrt2|x_0-1|}=\frac4{\sqrt2}$ là hằng số.
b. Ta có $d_1+d_2=|x_0-1|+\frac4{\sqrt2|x_0-1|}\geq2\sqrt{|x_0-1|\cdot\frac4{\sqrt2|x_0-1|}}=\frac4{\sqrt[4]2}$.
Vậy $d_1+d_2$ đạt giá trị min khi $|x_0-1|=\frac4{\sqrt2|x_0-1|}$.
Suy ra $(x_0-1)^2=\frac4{\sqrt2}$.
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_0-1=\frac2{\sqrt[4]2}\Leftrightarrow x_0=1+\frac2{\sqrt[4]2},\ y_0=\frac2{\sqrt[4]2}+2\sqrt[4]2,\\x_0-1=-\frac2{\sqrt[4]2}\Leftrightarrow x_0=1-\frac2{\sqrt[4]2},\ y_0=-\frac2{\sqrt[4]2}-2\sqrt[4]2.\end{cases}$
Do đó các điểm cần tìm là:
$M_1\left(1+\frac2{\sqrt[4]2};\frac2{\sqrt[4]2}+2\sqrt[4]2\right);M_2\left(1-\frac2{\sqrt[4]2};-\frac2{\sqrt[4]2}-2\sqrt[4]2\right)$.