Bài tự luận · Bài 16
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 16
Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.
a) $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $
b) $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $.
a) $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $
b) $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ là $ D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} \frac { 3\pi } { 2 }+k3\pi \left | { k\in \mathbb{Z} } \right . \end{array} \right \} $. Vì $ x±6\pi \in D $ với mọi $ x\in D $ và
$ 3sin(x+6\pi )+2tan\frac { x+6\pi } { 3 }=3sinx+2tan\left ( { \frac { x } { 3 }+2\pi } \right )=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ nên hàm số $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ là hàm số tuần hoàn.
Vì $ -x\in D $ với mọi $ x\in D $ và
$ 3sin(-x)+2tan\left ( { -\frac { x } { 3 } } \right )=-3sinx-2tan\frac { x } { 3 }=-\left ( { 3sinx+2tan\frac { x } { 3 } } \right ) $ nên hàm số $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ là hàm số lẻ.
b) Hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $.
Vì $ x±4\pi \in \mathbb{R} $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ và
$ cos(x+4\pi )sin\frac { \pi -(x+4\pi ) } { 2 }=cosxsin\left ( { \frac { \pi -x } { 2 }-2\pi } \right )=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $
nên hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ là hàm số tuần hoàn.
Vì $ -x\in \mathbb{R} $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ và
$ cos(-x)sin\frac { \pi +x } { 2 }=cosxsin\left ( { \pi -\frac { \pi -x } { 2 } } \right )=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ nên hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ là hàm số chẵn.
$ 3sin(x+6\pi )+2tan\frac { x+6\pi } { 3 }=3sinx+2tan\left ( { \frac { x } { 3 }+2\pi } \right )=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ nên hàm số $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ là hàm số tuần hoàn.
Vì $ -x\in D $ với mọi $ x\in D $ và
$ 3sin(-x)+2tan\left ( { -\frac { x } { 3 } } \right )=-3sinx-2tan\frac { x } { 3 }=-\left ( { 3sinx+2tan\frac { x } { 3 } } \right ) $ nên hàm số $ y=3sinx+2tan\frac { x } { 3 } $ là hàm số lẻ.
b) Hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $.
Vì $ x±4\pi \in \mathbb{R} $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ và
$ cos(x+4\pi )sin\frac { \pi -(x+4\pi ) } { 2 }=cosxsin\left ( { \frac { \pi -x } { 2 }-2\pi } \right )=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $
nên hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ là hàm số tuần hoàn.
Vì $ -x\in \mathbb{R} $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ và
$ cos(-x)sin\frac { \pi +x } { 2 }=cosxsin\left ( { \pi -\frac { \pi -x } { 2 } } \right )=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ nên hàm số $ y=cosxsin\frac { \pi -x } { 2 } $ là hàm số chẵn.