Bài tự luận · Bài 17
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 17
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) $ sin ^ { 2 } \left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin ^ { 2 } \left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right )=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin2x $
b) $ sin ^ { 2 } y+2cosxcosycos(x-y)=cos ^ { 2 } x+cos ^ { 2 } (x-y) $.
a) $ sin ^ { 2 } \left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin ^ { 2 } \left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right )=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin2x $
b) $ sin ^ { 2 } y+2cosxcosycos(x-y)=cos ^ { 2 } x+cos ^ { 2 } (x-y) $.
Xem lời giải
Lời giải
a)
$ sin ^ { 2 } \left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin ^ { 2 } \left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right )=\left[ sin\left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )+sin\left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right ) \right]\left[ sin\left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin\left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right ) \right] \\ =\left ( { 2sinxcos\frac { \pi } { 8 } } \right )\left ( { 2cosxsin\frac { \pi } { 8 } } \right )=(2sinxcosx)\left ( { 2cos\frac { \pi } { 8 }sin\frac { \pi } { 8 } } \right ) \\ =sin2xsin\frac { \pi } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin2x $
b)
$\begin{aligned}
\sin^2y+2\cos x\cos y\cos(x-y)
&=\cos^2x+\cos^2(x-y)\\
\Leftrightarrow\quad
2\cos x\cos y\cos(x-y)-\cos^2(x-y)
&=\cos^2x-\sin^2y\\
&=\cos(x-y)\bigl(2\cos x\cos y-\cos(x-y)\bigr)\\
&=\cos(x-y)\bigl(\cos x\cos y-\sin x\sin y\bigr)\\
&=\cos(x-y)\cos(x+y)=\frac12(\cos2y+\cos2x)\\
&=\frac12(1-2\sin^2y+2\cos^2x-1)=\cos^2x-\sin^2y.
\end{aligned}$
$ sin ^ { 2 } \left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin ^ { 2 } \left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right )=\left[ sin\left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )+sin\left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right ) \right]\left[ sin\left ( { x+\frac { \pi } { 8 } } \right )-sin\left ( { x-\frac { \pi } { 8 } } \right ) \right] \\ =\left ( { 2sinxcos\frac { \pi } { 8 } } \right )\left ( { 2cosxsin\frac { \pi } { 8 } } \right )=(2sinxcosx)\left ( { 2cos\frac { \pi } { 8 }sin\frac { \pi } { 8 } } \right ) \\ =sin2xsin\frac { \pi } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin2x $
b)
$\begin{aligned}
\sin^2y+2\cos x\cos y\cos(x-y)
&=\cos^2x+\cos^2(x-y)\\
\Leftrightarrow\quad
2\cos x\cos y\cos(x-y)-\cos^2(x-y)
&=\cos^2x-\sin^2y\\
&=\cos(x-y)\bigl(2\cos x\cos y-\cos(x-y)\bigr)\\
&=\cos(x-y)\bigl(\cos x\cos y-\sin x\sin y\bigr)\\
&=\cos(x-y)\cos(x+y)=\frac12(\cos2y+\cos2x)\\
&=\frac12(1-2\sin^2y+2\cos^2x-1)=\cos^2x-\sin^2y.
\end{aligned}$