Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 6
Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-3}$, có đồ thị là $(C)$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng $5$ lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$.
Giả sử $M\left(x_0;1+\frac5{x_0-3}\right)$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$, $x_0\neq3$.
Khi đó khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng là $d_1=|x_0-3|$.
Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang là $d_2=\frac5{|x_0-3|}$.
Theo giả thiết $d_1=5d_2$ hay $|x_0-3|=\frac{25}{|x_0-3|}\Leftrightarrow(x_0-3)^2=25$, phương trình này có $2$ nghiệm $x_0=-2$ hoặc $x_0=8$.
Vậy, $M(-2;0)$, $M(8;2)$ là tọa độ cần tìm.
Giả sử $M\left(x_0;1+\frac5{x_0-3}\right)$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$, $x_0\neq3$.
Khi đó khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng là $d_1=|x_0-3|$.
Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang là $d_2=\frac5{|x_0-3|}$.
Theo giả thiết $d_1=5d_2$ hay $|x_0-3|=\frac{25}{|x_0-3|}\Leftrightarrow(x_0-3)^2=25$, phương trình này có $2$ nghiệm $x_0=-2$ hoặc $x_0=8$.
Vậy, $M(-2;0)$, $M(8;2)$ là tọa độ cần tìm.