Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $SB$. Biết tam giác $ACE$ đều và $AC=OD=a$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động song song với mặt phẳng $\left( ACE \right)$ và đi qua điểm $I$ trên đoạn $OD$. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image483.png]. b) Tính diện tích của thiết diện theo [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image536.png] và [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image537.png] (với [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image538.png]). Tìm [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image539.png] để diện tích thiết diện là lớn nhất.

Question

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT MẶT PHẲNG ĐÓ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC. Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau - Khi $\left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( \beta ight)$ thì $\left( \alpha ight)$ sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong $\left( \beta ight)$ và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng. - Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( \beta ight) \ \left( \beta ight)\cap\left( \gamma ight) = d \ M\in\left( \alpha ight)\cap\left( \gamma ight) \end{array} ight. \Rightarrow \left( \alpha ight)\cap\left( \gamma ight) = d'\,\parallel\,d,\ M\in d'$. - Tìm đường thẳng $d$ nằm trong $\left( \beta ight)$ và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa $d$, khi đó $\left( \alpha ight)\,\parallel\,d$ nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa $d$ (nếu có) theo các giao tuyến song song với $d$. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $SB$. Biết tam giác $ACE$ đều và $AC=OD=a$. Một mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ di động song song với mặt phẳng $\left( ACE ight)$ và đi qua điểm $I$ trên đoạn $OD$. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image483.png]. b) Tính diện tích của thiết diện theo [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image536.png] và [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image537.png] (với [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image538.png]). Tìm [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image539.png] để diện tích thiết diện là lớn nhất.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image540.png] a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha ight)$. + $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\parallel\left( ACE ight) \ \left( ABCD ight)\cap\left( ACE ight)=AC \ I\in\left( ABCD ight)\cap\left( \alpha ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( ABCD ight)\cap\left( \alpha ight)=d_1\ \left( I\in d_1,d_1\parallel AC ight)$. Gọi $\left\{ \begin{array}{l} M=d_1\cap AD \ N=d_1\cap CD \end{array} ight.$. + $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\parallel\left( ACE ight) \ \left( SBD ight)\cap\left( ACE ight)=OE \ I\in\left( SBD ight)\cap\left( \alpha ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( SBD ight)\cap\left( \alpha ight)=d_2\ \left( I\in d_2,d_2\parallel OE ight)$. Gọi $Q=d_2\cap SB$. + $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\parallel\left( ACE ight) \ \left( SAB ight)\cap\left( ACE ight)=AE \ Q\in\left( SAB ight)\cap\left( \alpha ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( SAB ight)\cap\left( \alpha ight)=d_3\ \left( Q\in d_3,d_3\parallel AE ight)$. Gọi $R=d_3\cap SA$. + $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\parallel\left( ACE ight) \ \left( SBC ight)\cap\left( ACE ight)=CE \ Q\in\left( SBC ight)\cap\left( \alpha ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( SBC ight)\cap\left( \alpha ight)=d_4\ \left( Q\in d_4,d_4\parallel CE ight)$. Gọi $P=d_4\cap SC$. Vậy thiết diện là ngũ giác $MNPQR$. b) + Tính diện tích thiết diện trên. - Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \left( MNPQR ight)\parallel\left( ACE ight) \ \left( SAC ight)\cap\left( MNPQR ight)=PR \ \left( SAC ight)\cap\left( ACE ight)=AC \end{array} ight.\Rightarrow PR\parallel AC$ Do đó $QR\parallel AE$, $QP\parallel CE$, $PR\parallel AC$ nên tam giác $PQR$ là tam giác đều. - Ta có $RP\parallel MN$ (vì cùng song song với $AC$). Mặt khác $IQ\parallel OE\Rightarrow IQ\parallel SD$ nên $\left\{ \begin{array}{l} SD\parallel\left( MNPQR ight) \ \left( SCD ight)\supset SD \ \left( MNPQR ight)\cap\left( SCD ight)=PN \end{array} ight.\Rightarrow PN\parallel SD$. Tương tự ta có $MR\parallel SD$. Như vậy $MNPR$ là hình bình hành. Lại có $EO\perp AC\Rightarrow IQ\perp MN$ hay $PN\perp MN$, $RM\perp MN$. Vậy $MNPR$ là hình chữ nhật. - Ta có $\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DC}=\frac{DI}{DO}\Leftrightarrow \frac{MN}{AC}=\frac{x}{a}\Leftrightarrow MN=x$, suy ra $RP=MN=x$. Tam giác $PQR$ đều cạnh $x$ nên diện tích của nó là $S_1=\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}$. - Tam giác $ACE$ đều cạnh $a$ nên $EO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $SD=2EO=a\sqrt{3}$. Ta có $\frac{PN}{SD}=\frac{CN}{CD}=\frac{OI}{OD}\Leftrightarrow \frac{PN}{SD}=\frac{a-x}{a}\Leftrightarrow PN=\sqrt{3}\left( a-x ight)$. Vì $MNPR$ là hình chữ nhật nên diện tích của nó là $S_2=PN.MN=\sqrt{3}x\left( a-x ight)$. - Vậy diện tích của thiết diện $MNPQR$ là $S_0=S_1+S_2=\sqrt{3}x\left( a-x ight)+\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}=\frac{4\sqrt{3}ax-3\sqrt{3}x^{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}x\left( 4a-3x ight)$. + Tìm $x$ để diện tích thiết diện là lớn nhất? - Ta có $\frac{\sqrt{3}x\left( 4a-3x ight)}{4}=\frac{\sqrt{3}\left[ 3x\left( 4a-3x ight) ight]}{12}\leq \frac{\sqrt{3}}{12}\left( \frac{3x+4a-3x}{2} ight)^{2}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}x\left( 4a-3x ight)}{4}\leq \frac{\sqrt{3}a^{2}}{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $3x=4a-3x\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$. - Như vậy diện tích thiết diện lớn nhất là $S_{max}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{3}$ đạt được khi $x=\frac{2a}{3}$.

Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 21