Bài tập nâng cao · Bài 20
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT MẶT PHẲNG ĐÓ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC. Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau - Khi $\left( \alpha \right)\,\parallel\,\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$ sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong $\left( \beta \right)$ và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng. - Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\,\parallel\,\left( \beta \right) \\ \left( \beta \right)\cap\left( \gamma \right) = d \\ M\in\left( \alpha \right)\cap\left( \gamma \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\cap\left( \gamma \right) = d'\,\parallel\,d,\ M\in d'$. - Tìm đường thẳng $d$ nằm trong $\left( \beta \right)$ và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa $d$, khi đó $\left( \alpha \right)\,\parallel\,d$ nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa $d$ (nếu có) theo các giao tuyến song song với $d$.
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 20
a) Gọi
b) Gọi
c) Đặt
Xem lời giải
Lời giải
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
+ $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\,\parallel\,\left( SAB \right) \\ \left( SAD \right)\cap\left( SAB \right) = SA \\ M\in\left( SAD \right)\cap\left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( SAD \right)\cap\left( \alpha \right) = d_{1}\ \left( M\in d_{1}, d_{1}\,\parallel\,SA \right)$. Gọi $Q = d_{1}\cap SD$.
+ $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\,\parallel\,\left( SAB \right) \\ \left( ABCD \right)\cap\left( SAB \right) = AB \\ M\in\left( ABCD \right)\cap\left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( ABCD \right)\cap\left( \alpha \right) = d_{2}\ \left( M\in d_{2}, d_{2}\,\parallel\,AB \right)$. Gọi $N = d_{2}\cap BC$.
+ $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\,\parallel\,\left( SAB \right) \\ \left( SBC \right)\cap\left( SAB \right) = SB \\ N\in\left( SBC \right)\cap\left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( SBC \right)\cap\left( \alpha \right) = d_{3}\ \left( N\in d_{3}, d_{3}\,\parallel\,SB \right)$. Gọi $P = d_{3}\cap SC$.
Vậy thiết diện là tứ giác $MNPQ$.
b) Vì
Gọi
c) Để tứ giác
Ta có $\frac{DM}{DA} = \frac{MQ}{SA} \Leftrightarrow MQ = \frac{DM}{DA}.SA \Leftrightarrow MQ = \frac{a-x}{a}.2a = 2\left( a-x \right)$ (do $MNPQ$ là hình thang cân nên ta có $MQ = NP$).
$\frac{AM}{AD} = \frac{PQ}{CD} \Leftrightarrow PQ = \frac{AM}{AD}.CD \Leftrightarrow PQ = \frac{x}{a}.a = x$.
$\frac{MN}{AB} = \frac{JM}{JA} \Leftrightarrow \frac{MN}{AB} = \frac{JD+DM}{JD+DA} \Leftrightarrow \frac{MN}{AB} = \frac{\frac{a}{2}+a-x}{\frac{a}{2}+a} = \frac{3a-2x}{3a} \Leftrightarrow MN = \frac{3a-2x}{3a}.3a = 3a-2x$.
Vậy: $MN+PQ = MQ+NP \Leftrightarrow 3a-2x+x = 4\left( a-x \right) \Leftrightarrow x = \frac{a}{3}$.
Với $x = \frac{a}{3}$ thì $MQ = NP = \frac{4a}{3}$, $PQ = \frac{a}{3}$, $MN = \frac{7a}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $MN$.
Ta có $PH = \sqrt{PN^{2} - HN^{2}} = \sqrt{PN^{2} - \left( \frac{MN-PQ}{2} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{16a^{2}}{9} - a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$.
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác $MNPQ$ là $r = \frac{PH}{2} = \frac{a\sqrt{7}}{6}$.