Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ có $AC = a$, $BD = b$. Tam giác $SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ di động song song với mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và đi qua điểm $I$ trên đoạn $AC$ và $AI = x\ \left( 0 < x < a \right)$.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
.
b) Tính diện tích thiết diện theo
và
.

Question

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT MẶT PHẲNG ĐÓ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC. Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau - Khi $\left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( \beta ight)$ thì $\left( \alpha ight)$ sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong $\left( \beta ight)$ và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng. - Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( \beta ight) \ \left( \beta ight)\cap\left( \gamma ight) = d \ M\in\left( \alpha ight)\cap\left( \gamma ight) \end{array} ight. \Rightarrow \left( \alpha ight)\cap\left( \gamma ight) = d'\,\parallel\,d,\ M\in d'$. - Tìm đường thẳng $d$ nằm trong $\left( \beta ight)$ và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa $d$, khi đó $\left( \alpha ight)\,\parallel\,d$ nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa $d$ (nếu có) theo các giao tuyến song song với $d$. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ có $AC = a$, $BD = b$. Tam giác $SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ di động song song với mặt phẳng $\left( SBD ight)$ và đi qua điểm $I$ trên đoạn $AC$ và $AI = x\ \left( 0 < x < a ight)$. a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image441.png]. b) Tính diện tích thiết diện theo [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image442.png] và [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image443.png].

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image444.png] a) Trường hợp 1. Xét $I$ thuộc đoạn $OA$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l} I\in\left( \alpha ight)\cap\left( ABD ight) \ \left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( SBD ight) \ \left( ABD ight)\cap\left( SBD ight) = BD \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left( \alpha ight)\cap\left( ABD ight) = MN\,\parallel\,BD$, $I\in MN$. Tương tự $\left\{ \begin{array}{l} N\in\left( \alpha ight)\cap\left( SAD ight) \ \left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( SBD ight) \ \left( SAD ight)\cap\left( SBD ight) = SD \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left( SAD ight)\cap\left( \alpha ight) = NP\,\parallel\,SD$, $P\in SN$. Vậy thiết diện là tam giác $MNP$. Do $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\,\parallel\,\left( SBD ight) \ \left( SAB ight)\cap\left( SBD ight) = SB \ \left( SAB ight)\cap\left( \alpha ight) = MP \end{array} ight. \Rightarrow MP\,\parallel\,SB$. Hai tam giác $MNP$ và $BDS$ có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà $BDS$ đều nên tam giác $MNP$ đều. Trường hợp 2. Điểm $I$ thuộc đoạn $OC$, tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều $HKL$ (như hình vẽ). b) Trường hợp 1. $I$ thuộc đoạn $OA$ Ta có $S_{SBD} = \frac{BD^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}$, $\frac{S_{MNP}}{S_{SBD}} = \left( \frac{MN}{BD} ight)^{2}$ Do $MN\,\parallel\,BD \Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{AI}{AO} = \frac{2x}{a} \Rightarrow S_{MNP} = \left( \frac{2x}{a} ight)^{2} S_{SBD} = \frac{b^{2}x^{2}\sqrt{3}}{a^{2}}$. Trường hợp 2. $I$ thuộc đoạn $OC$, tính tương tự ta có $S_{MNP} = \left( \frac{HL}{BD} ight)^{2} \cdot S_{SBD} = \left[ \frac{2\left( a-x ight)}{a} ight]^{2} \cdot \frac{b^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{b^{2}\left( a-x ight)^{2}\sqrt{3}}{a^{2}}$. Vậy $S_{td} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{b^{2}x^{2}\sqrt{3}}{a^{2}};\ I\in\left( OA ight) \ \frac{b^{2}\left( a-x ight)^{2}\sqrt{3}}{a^{2}};\ I\in\left( OC ight) \end{array} ight.$.

Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 19