Bài tự luận · Bài 39
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 39
(CTST11) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đường thẳng $d:x+y=2$ cắt trục hoành tại điểm $A$ và cắt đường thẳng $d_n:y=\frac{2n+1}{n}x$ tại điểm $P_n\left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$. Kí hiệu $S_n$ là diện tích của tam giác $OAP_n$. Tìm $\lim S_n$.
Xem lời giải
Lời giải
$A(2;0);P_n\left(\frac{2n}{3n+1};\frac{4n+2}{3n+1}\right);OA=2;AP_n=\frac{4n+2}{3n+1}\cdot\sqrt{2};\widehat{OAP}_n=45^\circ$.
$\begin{array}{l} S_n=\frac{1}{2}OA\cdot AP_n\cdot\sin\widehat{OAP}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{4n+2}{3n+1}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4n+2}{3n+1} \\ \lim S_n=\lim\frac{4n+2}{3n+1}=\lim\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} S_n=\frac{1}{2}OA\cdot AP_n\cdot\sin\widehat{OAP}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{4n+2}{3n+1}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4n+2}{3n+1} \\ \lim S_n=\lim\frac{4n+2}{3n+1}=\lim\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3} \end{array}$