Bài tự luận · Bài 38
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 38
(CD11) Từ độ cao $100\,\text{m}$, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ $n$.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(h_n\right)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $\left(h_n\right)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $\left(h_n\right)$.
c) Gọi $S_n$ là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $n$. Tính $S_n$, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(h_n\right)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $\left(h_n\right)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $\left(h_n\right)$.
c) Gọi $S_n$ là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $n$. Tính $S_n$, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo đề bài, $h_n=\frac{1}{4}h_{n-1}$ nên $\left(h_n\right)$ là một cấp số nhân với $h_1=25$, công bội $q=\frac{1}{4}$. Suy ra số hạng tổng quát của dãy số $\left(h_n\right):h_n=\frac{100}{4^{n}}$.
b) Ta có: $\lim h_n=\lim\frac{100}{4^{n}}=\lim 100\cdot\lim\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=100\cdot 0=0$. Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Ta có: $S_n=100+2\cdot\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+\ldots+\frac{100}{4^{n}}\right)$
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_n=100+2\cdot\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+\ldots+\frac{100}{4^{n}}+\ldots\right)$
Vì $\frac{100}{4};\frac{100}{4^{2}};\frac{100}{4^{3}};\ldots;\frac{100}{4^{n}};\ldots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{100}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$ nên ta có $\lim S_n=100+2\cdot\frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$. Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}\,\text{m}$. đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}\,\text{m}$.
b) Ta có: $\lim h_n=\lim\frac{100}{4^{n}}=\lim 100\cdot\lim\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=100\cdot 0=0$. Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Ta có: $S_n=100+2\cdot\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+\ldots+\frac{100}{4^{n}}\right)$
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_n=100+2\cdot\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+\ldots+\frac{100}{4^{n}}+\ldots\right)$
Vì $\frac{100}{4};\frac{100}{4^{2}};\frac{100}{4^{3}};\ldots;\frac{100}{4^{n}};\ldots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{100}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$ nên ta có $\lim S_n=100+2\cdot\frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$. Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}\,\text{m}$. đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}\,\text{m}$.