Bài tự luận · Bài 37
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 37
(CD11) Một mẫu chất phóng xạ ${}_{84}^{210}\text{Po}$ có khối lượng ban đầu $m_0=42(\text{mg})$, nhưng cứ sau một khoảng thời gian $T=138$ ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ($T$ được gọi là chu kì bán rã). Gọi $u_n$ là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau $n$ chu kì bán rã.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì cứ sau 1 chu kì bán rã thì khối lượng mẫu chất phóng xạ giảm một nửa nên $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với $u_1=21$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ là: $u_n=\frac{42}{2^{n}}$.
b) Ta có: $\lim u_n=\lim\frac{42}{2^{n}}=\lim 42\cdot\lim\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=42\cdot 0=0$. Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ là: $u_n=\frac{42}{2^{n}}$.
b) Ta có: $\lim u_n=\lim\frac{42}{2^{n}}=\lim 42\cdot\lim\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=42\cdot 0=0$. Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).