(KNTT11) Cho tam giác $A_1B_1C_1$ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác $A_2B_2C_2$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác $A_3B_3C_3,\ldots,A_nB_nC_n,\ldots$ Kí hiệu $s_n$ là diện tích của tam giác $A_nB_nC_n$.
a) Tính $s_n$.
b) Tính tổng $s_1+s_2+\cdots+s_n+\cdots$

Question

Dạng 3. Ứng dụng (KNTT11) Cho tam giác $A_1B_1C_1$ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác $A_2B_2C_2$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác $A_3B_3C_3,\ldots,A_nB_nC_n,\ldots$ Kí hiệu $s_n$ là diện tích của tam giác $A_nB_nC_n$. a) Tính $s_n$. b) Tính tổng $s_1+s_2+\cdots+s_n+\cdots$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Theo cách xác định tam giác $A_2B_2C_2$, ta có $s_2=\frac{1}{4}s_1$. Tương tự, $s_3=\frac{1}{4}s_2,\ldots$, $s_n=\frac{1}{4}s_{n-1}\Rightarrow s_n=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}s_1=3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}.$ Từ đó $s_1+s_2+\cdots+s_n+\cdots=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$.

Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 36