(CTST11) Cho tam giác $OA_1A_2$ vuông cân tại $A_2$ có cạnh huyền $OA_1$ bằng $a$. Bên ngoài tam giác $OA_1A_2$, vẽ tam giác $OA_2A_3$ vuông cân tại $A_3$. Tiếp theo, bên ngoài tam giác $OA_2A_3$, vẽ tam giác $OA_3A_4$ vuông cân tại $A_4$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình).
Tính độ dài đường gấp khúc $A_1A_2A_3A_4\cdots$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có các góc $\widehat{A_1OA_2},\widehat{A_2OA_3},\widehat{A_3OA_4},\ldots$ đều bằng $45^\circ$. Ta có:
$\begin{array}{l} A_1A_2=OA_2=OA_1\cdot\cos 45^\circ=a\frac{\sqrt{2}}{2} \\ A_2A_3=OA_3=OA_2\cdot\cos 45^\circ=a\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=a\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}; \\ A_3A_4=OA_4=OA_3\cdot\cos 45^\circ=a\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=a\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3};\cdots \end{array}$
Vậy độ dài các đoạn thẳng $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_4,\ldots$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và công bội bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó, độ dài đường gấp khúc $A_1A_2A_3A_4\ldots$ là
$l=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot(2+\sqrt{2})=a(1+\sqrt{2}).$
