(CTST11) Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=1$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $OA_1B_1C_1$ sao cho các đỉnh $A_1,B_1,C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM,MN,ON$. Trong tam giác $A_1MB_1$, vẽ hình vuông $A_1A_2B_2C_2$ sao cho các đỉnh $A_2,B_2,C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_1M,MB_1$, $A_1B_1$. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình). Tính tổng diện tích các hình vuông này.
Xem lời giải
Lời giải
Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là $a_1=\frac{1}{2};a_2=\frac{1}{2}a_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2};a_3=\frac{1}{2}a_2=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3};\ldots$
Diện tích của các hình vuông lần lượt là
$\begin{array}{l} S_1=a_1^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \\ S_2=a_2^{2}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]^{2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}, \\ S_3=a_3^{2}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right]^{2}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]^{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3},\ldots \end{array}$
Các diện tích $S_1,S_2,S_3,\ldots$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_1=\frac{1}{4}$ và công bội bằng $\frac{1}{4}$. Do đó, tổng diện tích các hình vuông là $S=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.
