(CTST11) Cho tam giác $OA_1A_2$ vuông tại $A_2,A_1A_2=a$ và $\widehat{A_1OA_2}=30^\circ$. Hạ các đường vuông góc $A_2A_3\perp OA_1;A_3A_4\perp OA_2;A_4A_5\perp OA_1;\ldots$ Tiếp tục quá trình này, ta nhận được đường gấp khúc $A_1A_2A_3A_4\ldots$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $a$.
Xem lời giải
Lời giải
Các góc $\widehat{A_1A_2A_3},\widehat{A_2A_3A_4},\widehat{A_3A_4A_5},\ldots$ đều bằng góc $\widehat{A_1OA_2}$ nên đều có số đo $30^\circ$.
$\begin{array}{l} A_2A_3=A_1A_2\cdot\cos 30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ A_3A_4=A_2A_3\cdot\cos 30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}; \\ A_4A_5=A_3A_4\cdot\cos 30^\circ=a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3};\cdots \end{array}$
Vậy độ dài các đoạn thẳng $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_4,\ldots$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $a$ và công bội bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Từ đó, độ dài đường gấp khúc $A_1A_2A_3A_4\ldots$ là $l=a\cdot\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{2-\sqrt{3}}=\frac{2a(2+\sqrt{3})}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=a(4+2\sqrt{3})$
