(KNTT11) Cho dãy số $\left(u_n ight)$ với $u_1=2,u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^{n}},n\geq 1$. Đặt $v_n=u_{n+1}-u_n$. a) Tính $v_1+v_2+\cdots+v_n$ theo $n$. b) Tính $u_n$ theo $n$. c) Tính $\lim\limits_{n o +\infty}u_n$.

Question

Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (KNTT11) Cho dãy số $\left(u_night)$ với $u_1=2,u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^{n}},n\geq 1$. Đặt $v_n=u_{n+1}-u_n$. a) Tính $v_1+v_2+\cdots+v_n$ theo $n$. b) Tính $u_n$ theo $n$. c) Tính $\lim\limits_{n	o +\infty}u_n$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $v_n=\frac{2}{3^{n}}$. Do vậy $v_1+v_2+\cdots+v_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{1-\frac{1}{3}}ight)=1-\frac{1}{3^{n}}$. Mặt khác $v_1+v_2+\cdots+v_n=\left(u_2-u_1ight)+\left(u_3-u_2ight)+\cdots+\left(u_{n+1}-u_night)=u_{n+1}-u_1=u_{n+1}-2.$ Vậy $u_n=1-\frac{1}{3^{n-1}}+2=3-\frac{1}{3^{n-1}}$ và $\lim\limits_{n	o +\infty}u_n=3$.

Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 31