Bài tự luận · Bài 30
Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 30
(CTST11) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: 2,(12) = 2+0,(12);
$\begin{array}{ll} 0,(12) & =0,12121212\ldots=0,12+0,0012+0,000012+0,00000012\ldots \\ & =0,12+0,12\cdot\frac{1}{100}+0,12\cdot\frac{1}{100^{2}}+0,12\cdot\frac{1}{100^{3}}+0,12\cdot\frac{1}{100^{4}}\ldots \end{array}$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 0,12 và công bội bằng $\frac{1}{100}$. Tổng này bằng $0,12\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$.
Vậy $2,(12)=2+\frac{4}{33}=\frac{70}{33}$.
$\begin{array}{ll} 0,(12) & =0,12121212\ldots=0,12+0,0012+0,000012+0,00000012\ldots \\ & =0,12+0,12\cdot\frac{1}{100}+0,12\cdot\frac{1}{100^{2}}+0,12\cdot\frac{1}{100^{3}}+0,12\cdot\frac{1}{100^{4}}\ldots \end{array}$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 0,12 và công bội bằng $\frac{1}{100}$. Tổng này bằng $0,12\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$.
Vậy $2,(12)=2+\frac{4}{33}=\frac{70}{33}$.