Bài tự luận · Bài 29
Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 29
(CTST11) Kí hiệu $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$ là tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội bằng $q\neq 1$. Biết rằng $\lim\frac{u_n}{S_n}=\frac{3}{4}$. Tìm giá trị của $q$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $u_n=u_1q^{n-1};S_n=u_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}$. Suy ra $\frac{u_n}{S_n}=\frac{q^{n-1}(1-q)}{1-q^{n}}=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{q^{n}}{1-q^{n}}$.
Nếu $0<q<1$ thì $\lim\frac{u_n}{S_n}=\lim\left(\frac{1-q}{q}\cdot\frac{q^{n}}{1-q^{n}}\right)=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{\lim q^{n}}{1-\lim q^{n}}$
$=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{0}{1-0}=0\neq\frac{3}{4}$. Do đó, $q>1$. Khi đó,
$\lim\frac{u_n}{S_n}=\lim\left(\frac{1-q}{q}\cdot\frac{q^{n}}{1-q^{n}}\right)=\frac{1-q}{q}\cdot\lim\frac{1}{\left(\frac{1}{q}\right)^{n}-1}=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{1}{0-1}=\frac{q-1}{q}.$
Suy ra $\frac{q-1}{q}=\frac{3}{4}\Rightarrow q=4$. Vậy $q=4$ là giá trị cần tìm.
Nếu $0<q<1$ thì $\lim\frac{u_n}{S_n}=\lim\left(\frac{1-q}{q}\cdot\frac{q^{n}}{1-q^{n}}\right)=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{\lim q^{n}}{1-\lim q^{n}}$
$=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{0}{1-0}=0\neq\frac{3}{4}$. Do đó, $q>1$. Khi đó,
$\lim\frac{u_n}{S_n}=\lim\left(\frac{1-q}{q}\cdot\frac{q^{n}}{1-q^{n}}\right)=\frac{1-q}{q}\cdot\lim\frac{1}{\left(\frac{1}{q}\right)^{n}-1}=\frac{1-q}{q}\cdot\frac{1}{0-1}=\frac{q-1}{q}.$
Suy ra $\frac{q-1}{q}=\frac{3}{4}\Rightarrow q=4$. Vậy $q=4$ là giá trị cần tìm.