Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-4x+2y-15=0$. Đường thẳng $d:x+by+c=0$ đi qua điểm $M(1;-3)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B$. Biết diện tích tam giác $IAB$ bằng $8$. Tính giá trị $4b+8c$.

Question

Dạng 2. Phương trình đường thẳng Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-4x+2y-15=0$. Đường thẳng $d:x+by+c=0$ đi qua điểm $M(1;-3)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B$. Biết diện tích tam giác $IAB$ bằng $8$. Tính giá trị $4b+8c$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Vì $M(1;-3)\in d\Rightarrow1-3b+c=0\Rightarrow c=3b-1$. $(C)$ có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{20}$. [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image612.png] Kẻ $IH\perp AB\ (H\in AB)$. Ta có $S_{IAB}=8\Rightarrow\dfrac12\cdot IH\cdot AB=8\Rightarrow IH\cdot AB=16$. Xét tam giác vuông $IAH$ ta có: $IA^2=IH^2+AH^2\Leftrightarrow IH^2+\dfrac{AB^2}{4}=20$ $\Leftrightarrow IH^2+\dfrac{16^2}{4IH^2}=20\Leftrightarrow IH^4-20IH^2+64=0$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}IH^2=4\IH^2=16\end{array}ight.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}IH=2\IH=4\end{array}ight.$ TH1. $IH=4\Leftrightarrow d(I,d)=4\Leftrightarrow\dfrac{|2-b+c|}{\sqrt{1+b^2}}=4\Leftrightarrow|1+2b|=4\sqrt{1+b^2}$ $\Leftrightarrow1+4b+4b^2=16+16b^2\Leftrightarrow12b^2-4b+15=0\ (VN)$ TH2. $IH=2\Leftrightarrow d(I,d)=2\Leftrightarrow\dfrac{|2-b+c|}{\sqrt{1+b^2}}=2\Leftrightarrow|1+2b|=2\sqrt{1+b^2}$ $\Leftrightarrow1+4b+4b^2=4+4b^2\Leftrightarrow b=\dfrac34$ Suy ra $c=\dfrac54\Rightarrow4b+8c=3+10=13$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 28