Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 29
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2-4x-2y=0$, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y=2x-8$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường tròn $x^2+y^2-4x-2y=0$ có tâm là $I(2;1)$ và bán kính $R=\sqrt5$.
Gọi $(\Delta)$ là tiếp tuyến cần tìm.
Do $(\Delta)$ song song với đường thẳng $y=2x-8$ nên phương trình của $(\Delta)$ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow2x-y+m=0$ với $m\neq-8$.
Để $(\Delta)$ là tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2-4x-2y=0$ khi và chỉ khi
$d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|m+3|}{\sqrt5}=\sqrt5\Leftrightarrow|m+3|=5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m+3=5\\m+3=-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-8\end{array}\right.$.
Do $m\neq-8$ nên $m=2$, từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=2x+2$.
Gọi $(\Delta)$ là tiếp tuyến cần tìm.
Do $(\Delta)$ song song với đường thẳng $y=2x-8$ nên phương trình của $(\Delta)$ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow2x-y+m=0$ với $m\neq-8$.
Để $(\Delta)$ là tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2-4x-2y=0$ khi và chỉ khi
$d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|m+3|}{\sqrt5}=\sqrt5\Leftrightarrow|m+3|=5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m+3=5\\m+3=-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-8\end{array}\right.$.
Do $m\neq-8$ nên $m=2$, từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=2x+2$.