Bài tập nâng cao · Bài 64
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 64
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông, mặt bên $ \left ( { SAB } \right ) $ là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ và có diện tích bằng $ \frac { 27\sqrt[] { 3 } } { 4 } $ (đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác $ SAB $ và song song với mặt đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ chia khối chóp $ S.ABCD $ thành hai phần, tính thể tích $ V $ của phần chứa điểm $ S $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H $ là trung điểm $ AB $. Do $ \Delta SAB $ đều và $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Ta có $ S_{ \Delta SAB } =\frac { (AB)^2 \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 27\sqrt[] { 3 } } { 4 } $$ \Rightarrow AB=3\sqrt[] { 3 } $$ \Rightarrow SH=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }.\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 9 } { 2 } $
$ \Rightarrow V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .SH=\frac { 1 } { 3 }.(AB)^2 .SH=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 3\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } .\frac { 9 } { 2 }=\frac { 81 } { 2 } $ (đvtt).
Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ SAB $, qua $ G $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $, cắt $ SA $ và $ SB $ lần lượt tại $ M $, $ N $. Qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ BC $ cắt $ SC $ tại $ P $, qua $ M $ kẻ đường thẳng song song với $ AD $ cắt $ SD $ tại $ Q $. Suy ra $ \left ( { MNPQ } \right ) $ là mặt phẳng đi qua $ G $ và song song với $ \left ( { ABCD } \right ) $.
Khi đó $ \frac { SM } { SA }=\frac { SN } { SB }=\frac { SP } { SC }=\frac { SQ } { SD }=\frac { SG } { SH }=\frac { 2 } { 3 } $.
Có $ \frac { V_{ S.MNP } } { V_{ S.ABC } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SN } { SB }.\frac { SP } { SC }=\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 3 } =\frac { 8 } { 27 } $$ \Rightarrow V_{ S.MNP } =\frac { 8 } { 27 }V_{ S.ABC } =\frac { 8 } { 27 }.\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABCD } =\frac { 4 } { 27 }V_{ S.ABCD } $.
Có $ \frac { V_{ S.MPQ } } { V_{ S.ACD } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SP } { SC }.\frac { SQ } { SD }=\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 3 } =\frac { 8 } { 27 } $$ \Rightarrow V_{ S.MPQ } =\frac { 8 } { 27 }V_{ S.ACD } =\frac { 8 } { 27 }.\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABCD } =\frac { 4 } { 27 }V_{ S.ABCD } $.
Vậy $ V_{ S.MNPQ } =V_{ S.MNP } +V_{ S.MPQ } =\frac { 4 } { 27 }V_{ S.ABCD } +\frac { 4 } { 27 }V_{ S.ABCD } =\frac { 8 } { 27 }V_{ S.ABCD } =\frac { 8 } { 27 }.\frac { 81 } { 2 }=12 $ (đvtt).