Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 65

Hai hình chóp $ A.BCD $ và $ A'.B'C'D' $ là hai hình chóp đều, có chung đường cao $ AA' $, $ A $ là tâm của tam giác $ B'C'D' $ và $ A' $ là tâm của tam giác $ BCD $.
Ta có: $ \left ( { BCD } \right )\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\left ( { B'C'D' } \right ) $; $ AB=AC=AD=a $; $ \widehat { BAA' }=\alpha $; $ \widehat { AA'B' }=\beta $.
Do $ AB $ cắt $ A'B' $ tại $ M $ nên $ AB'\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,A'B $.
Gọi $ N $ là giao điểm của $ AC $ và $ A'C' $; $ P $ là giao điểm của $ AD $ và $ A'D' $.
Tương tự ta có: $ AC'\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,A'C $, $ AD'\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,A'D $.
Từ đó suy ra các cạnh của $ \Delta BCD $ và $ \Delta B'C'D' $ song song với nhau từng đôi một.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { MB } { MA }=\frac { A'B } { AB' } \\ \frac { NC } { NA }=\frac { A'C } { AC' } \\ AB'=AC'\,;\,A'B=A'C \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \frac { MB } { MA }=\frac { NC } { NA } $ $ \Rightarrow MN\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,BC $.
Tương tự ta có: $ NP\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,CD $ và $ MP\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,BD $.
Suy ra: $ \Delta MNP $ là tam giác đều. Gọi $ H $ là giao điểm của $ OO' $ và $ \left ( { MNP } \right ) $, $ H $ là tâm của tam giác $ MNP $.
Trong tam giác $ AA'D $ có: $ AA'=AD.cos\alpha =a.cos\alpha $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Đặt $ x=MH $. Hai tam giác $ AHM $ và tam giác $ A'HM $ vuông tại $ H $ cho:
$ \left \{ \begin{array}{l} AH=MH.cot\alpha =x.cot\alpha \\ A'H=MH.cot\beta =x.cot\beta \end{array} \right.\Rightarrow AA'=x\left ( { cot\alpha +cot\beta } \right ) $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra: $ a.cos\alpha =x\left ( { cot\alpha +cot\beta } \right )\Leftrightarrow x=\frac { a.cos\alpha } { cot\alpha +cot\beta } $.
Tam giác $ MNP $ đều có cạnh $ MN=x\sqrt[] { 3 } $ nên:
$ S_{ \Delta MNP } =\frac { (MN)^2 \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }x ^ { 2 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { a ^ { 2 } cos ^ { 2 } \alpha } { \left ( { cot\alpha +cot\beta } \right ) ^ { 2 } } $
Phần chung của hai hình chóp $ A.BCD $ và $ A'.B'C'D' $ là hai hình chóp đỉnh $ A $ và $ A' $ có chung nhau mặt đáy là tam giác $ MNP $. Do đó thể tích của nó là:
$ V=\frac { 1 } { 3 }.S_{ \Delta MNP } .\left ( { AH+A'H } \right )=\frac { 1 } { 3 }.S_{ \Delta MNP } .AA'=\frac { a ^ { 3 } .\sqrt[] { 3 }.cos ^ { 3 } \alpha } { 4\left ( { cot\alpha +cot\beta } \right ) ^ { 2 } } $
Với $ \alpha =30° $ và $ \beta =45° $ thì $ V=\frac { 9a ^ { 3 } } { 32\left ( { \sqrt[] { 3 }+1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 9\left ( { 2-\sqrt[] { 3 } } \right )a ^ { 3 } } { 64 } $.