Bài tập nâng cao · Bài 66
Dạng 3. Thể tích khối đa diện khác
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 66
Cho lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có thể tích bằng 6. Gọi $ M\,,N $ và $ P $ là các điểm nằm trên cạnh $ A'B'\,,\,B'C' $và $ BC $ sao cho $ M $là trung điểm của $ A'B' $, $ B'N=\frac { 3 } { 4 }B'C' $ và $ BP=\frac { 1 } { 4 }BC. $ Đường thẳng $ NP $ cắt đường thẳng $ BB' $ tại $ E $và đường thẳng $ EM $ cắt đường thẳng $ AB $ tại $ Q. $ Thể tích của khối đa diện lồi $ AQPCA'MNC' $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \frac { EB } { EB' }=\frac { EQ } { EM }=\frac { EP } { EN }=\frac { BP } { B'N }=\frac { 1 } { 3 } $.
Suy ra $ d\left ( { E,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }d\left ( { B,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right ) $.
Mà ta lại có $ \frac { S_{ B'MN } } { S_{ A'B'C' } }=\frac { B'N } { B'C' }.\frac { B'M } { B'A' }=\frac { 3 } { 8 } $.
Và $ V_{ E.MB'N } =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { E,\left ( { MB'N } \right ) } \right ).S_{ MB'N } =\frac { 3 } { 16 }V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { 9 } { 8 } $.
Ta lại có $ \frac { V_{ E.QPB } } { V_{ E.MNB' } }=\frac { EQ } { EM }.\frac { EP } { EN }.\frac { EB } { EB' }=\left ( { \frac { EB } { EB' } } \right ) ^ { 3 } =\frac { 1 } { 27 } $.
Suy ra $ V_{ BQP.B'MN } =V_{ E.MB'N } -V_{ EBQP } =\frac { 26 } { 27 }V_{ E.MB'N } $.
Vậy $ V_{ AQPCA'MNC' } =V_{ ABC.A'B'C' } -V_{ BQP.B'MN } =6-\frac { 26 } { 27 }.\frac { 9 } { 8 }=\frac { 59 } { 12 } $.