Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 67

Gọi $ H,\,I,\,K $ lần lượt là trung điểm của $ AB,\,B'C',\,IC' $. Khi đó $ AN//A'I//MK $ suy ra $ \left ( { AMN } \right ) $ chia khối lăng trụ thành hai phần, trong đó phần nhỏ là khối chóp cụt $ MKC'.ANC $có chiều cao là $ CC' $, hai đáy là tam giác $ ANC $ vuông tại $ C $ và tam giác $ MKC' $ vuông tại $ C' $, hai tam giác này đồng dạng theo tỉ số là $ \frac { AC } { MC' }=2 $.
Tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ C $, $ AB=2a $ nên $ CA=CB=a\sqrt[] { 2 } $, $ CH=a $.
Ta có $ \left ( { ABC' } \right )∩\left ( { ABC } \right )=AB $ và $ BA⊥\left ( { HCC' } \right ) $$ \left ( { Do\,\,BA⊥HC,\,CC' } \right ) $, suy ra góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ và $ \left ( { ABC' } \right ) $ là $ \widehat { CHC' } $. Vậy $ \widehat { CHC' }=60 ^ { o } $.
Tam giác $ CHC' $ vuông tại $ C $, suy ra $ CC'=CH.tan60 ^ { o } =a\sqrt[] { 3 } $.
$ S_{ \Delta ANC } =\frac { 1 } { 2 }CA.CN=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } $$ \Rightarrow S_{ \Delta MC'K } =\frac { 1 } { 4 }S_{ \Delta ACN } =\frac { a ^ { 2 } } { 8 } $.
Suy ra $ V_{ MKC'.ANC } =\frac { 1 } { 3 }.CC'\left ( { S_{ \Delta ANC } +S_{ \Delta MC'K } +\sqrt[] { S_{ \Delta ANC } .S_{ \Delta MC'K } } } \right )=\frac { 7a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 24 } $.