(CTST11) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $y=\frac{\sin 3x}{x}$
b) $y=-5x^{2}+\cos\frac{x}{2}$
c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x}$;
d) $y=\cot x-\frac{2}{\sin x}$
e) $y=\left| x \right|+\tan x$
g) $y=\tan\left( x+\frac{\pi}{4} \right)$

Question

Dạng 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Phương pháp Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó $*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2. $*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x
otin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định $f\left( -x ight)$: $*$ Nếu $f\left( -x ight)=f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. $*$ Nếu $f\left( -x ight)=-f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. $*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản: 1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$. 2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$. 3, Hàm số $y=	an x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. (CTST11) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) $y=\frac{\sin 3x}{x}$ b) $y=-5x^{2}+\cos\frac{x}{2}$ c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x}$; d) $y=\cot x-\frac{2}{\sin x}$ e) $y=\left| x ight|+	an x$ g) $y=	an\left( x+\frac{\pi}{4} ight)$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{\sin 3x}{x}$ là $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$. Ta có $\frac{\sin[3(-x)]}{-x}=\frac{\sin(-3x)}{-x}=\frac{-\sin 3x}{-x}=\frac{\sin 3x}{x}$. Vậy hàm số $y=\frac{\sin 3x}{x}$ là hàm số chẵn. b) Tập xác định của hàm số $y=-5x^{2}+\cos\frac{x}{2}$ là $D=\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$. Ta có $-5(-x)^{2}+\cos\left( \frac{-x}{2} ight)=-5x^{2}+\cos\frac{x}{2}$. Vậy hàm số $y=-5x^{2}+\cos\frac{x}{2}$ là hàm số chẵn. c) Tập xác định của hàm số $y=x\sqrt{1+\cos 2x}$ là $D=\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$. Ta có $(-x)\sqrt{1+\cos(-2x)}=-x\sqrt{1+\cos 2x}$. Vậy hàm số $y=x\sqrt{1+\cos 2x}$ là hàm số lẻ. d) Tập xác định của hàm số $y=\cot x-\frac{2}{\sin x}$ là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$. Ta có $\cot(-x)-\frac{2}{\sin(-x)}=-\cot x+\frac{2}{\sin x}=-\left( \cot x-\frac{2}{\sin x} ight)$. Vậy hàm số $y=\cot x-\frac{2}{\sin x}$ là hàm số lẻ. e) Tập xác định của hàm số $y=\left| x ight|+	an x$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$. Đặt $f(x)=\left| x ight|+	an x$. Xét hai giá trị $\frac{\pi}{4}$ và $-\frac{\pi}{4}$ thuộc $D$, ta có: $f\left( \frac{\pi}{4} ight)=\left| \frac{\pi}{4} ight|+	an\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+1$ và $f\left( -\frac{\pi}{4} ight)=\left| -\frac{\pi}{4} ight|+	an\left( -\frac{\pi}{4} ight)=\frac{\pi}{4}-1$. Do $f\left( -\frac{\pi}{4} ight)
eq f\left( \frac{\pi}{4} ight)$ và $f\left( -\frac{\pi}{4} ight)
eq -f\left( \frac{\pi}{4} ight)$ nên $y=\left| x ight|+	an x$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. g) Tập xác định của hàm số $y=	an\left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ không thoả mãn điều kiện $-x\in D$ với mọi $x\in D$ vì $-\frac{\pi}{4}\in D$ mà $\frac{\pi}{4}
otin D$. Vậy hàm số $y=	an\left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 12