(CTST11) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $y=\cos 2x$;
b) $y=\sin^{3}x$;
c) $y=\tan\left( x+\frac{\pi}{2} \right)$
d) $y=\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)$

Question

Dạng 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Phương pháp Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó $*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2. $*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x
otin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định $f\left( -x ight)$: $*$ Nếu $f\left( -x ight)=f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. $*$ Nếu $f\left( -x ight)=-f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. $*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản: 1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$. 2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$. 3, Hàm số $y=	an x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. (CTST11) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) $y=\cos 2x$; b) $y=\sin^{3}x$; c) $y=	an\left( x+\frac{\pi}{2} ight)$ d) $y=\cos\left( x+\frac{\pi}{6} ight)$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Hàm số $y=\cos 2x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $\cos[2\cdot (-x)]=\cos(-2x)=\cos 2x$. Do đó hàm số $y=\cos 2x$ là hàm số chẵn. b) Hàm số $y=\sin^{3}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $\sin^{3}(-x)=(-\sin x)^{3}=-\sin^{3}x$. Do đó hàm số $y=\sin^{3}x$ là hàm số lẻ. c) Hàm số $y=	an\left( x+\frac{\pi}{2} ight)$ xác định khi và chỉ khi $x+\frac{\pi}{2}
eq \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức là $x
eq k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Suy ra hàm số $y=	an\left( x+\frac{\pi}{2} ight)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Với mọi $x\in D$, ta có $-x
eq -k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, cũng có nghĩa là $-x
eq k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, hay $-x\in D$. Mặt khác, ta lại có $	an\left( -x+\frac{\pi}{2} ight)=-	an\left( x-\frac{\pi}{2} ight)=-	an\left( x-\frac{\pi}{2}+\pi ight)=-	an\left( x+\frac{\pi}{2} ight).$ Do đó hàm số $y=	an\left( x+\frac{\pi}{2} ight)$ là hàm số lẻ. d) Hàm số $y=\cos\left( x+\frac{\pi}{6} ight)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$. Đặt $f(x)=\cos\left( x+\frac{\pi}{6} ight)$. Xét hai giá trị $\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\in D$, ta thấy rằng: $f\left( \frac{\pi}{3} ight)=\cos\left( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} ight)=\cos\frac{\pi}{2}=0;f\left( -\frac{\pi}{3} ight)=\cos\left( -\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} ight)=\cos\left( -\frac{\pi}{6} ight)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Vì $f\left( -\frac{\pi}{3} ight)
eq f\left( \frac{\pi}{3} ight)$ và $f\left( -\frac{\pi}{3} ight)
eq -f\left( \frac{\pi}{3} ight)$ nên hàm số $y=\cos\left( x+\frac{\pi}{6} ight)$ không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 11