(CTST10) Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là chiếc cầu dây văng dài nhất Việt Nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính kết nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là để tượng trưng cho 5 cửa ô cổ kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mĩ thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol.
a) Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một parabol như Hình. Khi không thể đo trực tiếp khoảng cách từ đỉnh vòm phía trong của trụ cầu tới mặt đường, làm thế nào để ước tính độ cao này?
b) Giả sử biết độ rộng của mặt đường khoảng $43$ m. Một người đã dùng dây dọi (không giãn) gắn lên thành trụ cầu ở vị trí $B$ và điều chỉnh độ dài dây dọi để quả nặng vừa chạm đất (khi lặng gió), sau đó đo được chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là $1,87$ m và khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng là $20$ cm. Nếu dùng dữ liệu tự thu thập được và tính toán theo cách ở trên thì người này sẽ ước tính được độ cao từ đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Vấn đề đặt ra trong thực tiễn là không đo trực tiếp khoảng cách từ đỉnh vòm phía trong của trụ cầu tới mặt đường nhưng cần ước tính độ cao này.
Để giải quyết vấn đề thực tiễn này bằng toán học, ta dùng đồ thị hàm số bậc hai để mô phỏng cho đường biên mặt trong của trụ cầu. Từ công thức của hàm số tìm được ứng với đồ thị, ta tính độ cao cần tìm.
Bước 1. Lựa chọn mô hình toán học
Dùng đồ thị hàm số bậc hai mô phỏng cho đường biên mặt trong của trụ cầu như Hình $9a$.
Bước 2. Phát biểu bài toán
- Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ (được chọn như Hình 9b), tung độ đỉnh $S$ của parabol là bao nhiêu?
Bước 3. Giải quyết bài toán toán học
Trước hết, ta tìm công thức hàm số, bằng cách:
- Đo khoảng cách $OA$ giữa hai chân trụ của cầu, từ đó xác định toạ độ điểm $A,H$ (với $H$ là trung điểm của $OA$).
- Chọn một điểm $B$ cụ thể trên thành trụ cầu, xác định hình chiếu $B'$ trên mặt đường rồi đo $BB'$ và $OB'$. Từ đây, xác định toạ độ điểm $B$.
- Tìm hàm số bậc hai có công thức tổng quát: $y=ax^{2}+bx+c$ biết đồ thị hàm số này qua gốc toạ độ và hai điểm $A,B$.
- Sau cùng tính tung độ đỉnh $S$.
Bước 4. Trả lời kết quả cho vấn đề thực tế
Ước lượng kết quả độ cao từ đỉnh vòm phía trong của trụ cầu tới mặt đường (có thể làm tròn tung độ đỉnh $S$ đến đơn vị mét).
b) Chọn hệ trục toạ độ như Bước 2 ở câu $a$.
Đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ đi qua gốc toạ độ $O(0;0)$ nên $c=0$. Suy ra công thức hàm số là $ax^{2}+bx$.
Mặt khác đồ thị hàm số qua 2 điểm $A(43;0),B(0,2;1,87)$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a\cdot(0,2)^{2}+b\cdot0,2=1,87 \\ a\cdot43^{2}+b\cdot43=0\end{array}\right.$
Suy ra $a=-\frac{187}{856};b=\frac{8041}{856}$ nên có hàm số $y=-\frac{187}{856}x^{2}+\frac{8041}{856}x$.
Hình chiếu của đỉnh $S$ trên trục hoành là $H$ nên $y_S=f(x_S)=f(x_H)=f\left(\frac{x_A}{2}\right)=f\left(\frac{43}{2}\right)\approx100,98$.
Vậy độ cao từ đỉnh vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân tới mặt đường là khoảng $101$ m.
(Lưu ý: Kết quả này là giả định theo số liệu do người này tự thu thập, không ảnh hưởng đến độ cao thật trong thực tế).
