Bài tự luận · Bài 34
Dạng 5. Ứng dụng
Bài tự luận Cực trị của hàm số · Bài 34
Một vật chuyển động dọc theo một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật $x$ (mét) từ thời điểm $ t=0$ giây đến thời điểm $ t=5$ giây được cho bởi công thức $ x(t)=t ^{3} -7t ^{2} +11t+5$.
a) Xác định vận tốc $v$ của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái.
b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ $t=1$ giây đến $ t=4$ giây.
c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.
a) Xác định vận tốc $v$ của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái.
b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ $t=1$ giây đến $ t=4$ giây.
c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $x(t)=t ^{3} -7t ^{2} +11t+5,t\in [0;5]$.
a) Vận tốc của vật là $v(t)=x ^{′} (t)=3t ^{2} -14t+11,t\in [0;5];v(t)=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $ t=\frac{11}{3}$.
Ta có: $v(t)>0$ khi $ t\in (0;1)$ hoặc $ t\in \left ( { \frac{11}{3};5 } \right );v(t) < 0$ khi $ t\in \left ( { 1;\frac{11}{3} } \right )$.
Vật chuyển động theo chiều dương khi vận tốc $v(t)>0$.
Do đó, vật chuyển động sang phải trong các khoảng thời điểm từ 0 giây đến 1 giây và từ $\frac{11}{3}$ giây đến 5 giây; vật chuyển động sang trái trong khoảng thời gian từ 1 giây đến $ \frac{11}{3}$ giây.
b) Tốc độ của vật là độ lớn của vận tốc, tức là $\|v(t)\|=\left | { 3t ^{2} -14t+11 } \right |,t\in [0;5]$.
Ta có: $\|v(t)\|=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $ t=\frac{11}{3}$. Vậy vật dừng lại tại các thời điểm $ t=1$ giây hoặc $ t=\frac{11}{3}$ giây.
Trên đoạn $[1;4]$, ta có: $ v(1)=0;v(4)=-5;v\left ( { \frac{7}{3} } \right )=-\frac{16}{3}$ là tung độ đỉnh của parabol $ y=3t ^{2} -14t+11$
Do đó $\max_{t\in [1;4]} \|v(t)\|=\left | { v\left ( { \frac{7}{3} } \right ) } \right |=\frac{16}{3}$.
Vậy tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ $t=1$ giây đến $ t=4$ giây là $ \frac{16}{3}( m/s)$.
c) Gia tốc của vật là $a(t)=v ^{′} (t)=6t-14$.
Ta có: $a(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{7}{3};a(t)>0$ khi $ t\in \left ( { \frac{7}{3};5 } \right );a(t) < 0$ khi $ t\in \left ( { 0;\frac{7}{3} } \right )$.
Vật tăng tốc khi vận tốc và gia tốc cùng dấu, vật giảm tốc khi vận tốc và gia tốc trái dấu. Vậy vật tăng tốc trong các khoảng thời gian từ 1 giây đến $ \frac{7}{3}$ giây và từ $ \frac{11}{3}$ giây đến 5 giây; vật giảm tốc trong các khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây và từ $ \frac{7}{3}$ giây đến $ \frac{11}{3}$ giây.
a) Vận tốc của vật là $v(t)=x ^{′} (t)=3t ^{2} -14t+11,t\in [0;5];v(t)=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $ t=\frac{11}{3}$.
Ta có: $v(t)>0$ khi $ t\in (0;1)$ hoặc $ t\in \left ( { \frac{11}{3};5 } \right );v(t) < 0$ khi $ t\in \left ( { 1;\frac{11}{3} } \right )$.
Vật chuyển động theo chiều dương khi vận tốc $v(t)>0$.
Do đó, vật chuyển động sang phải trong các khoảng thời điểm từ 0 giây đến 1 giây và từ $\frac{11}{3}$ giây đến 5 giây; vật chuyển động sang trái trong khoảng thời gian từ 1 giây đến $ \frac{11}{3}$ giây.
b) Tốc độ của vật là độ lớn của vận tốc, tức là $\|v(t)\|=\left | { 3t ^{2} -14t+11 } \right |,t\in [0;5]$.
Ta có: $\|v(t)\|=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $ t=\frac{11}{3}$. Vậy vật dừng lại tại các thời điểm $ t=1$ giây hoặc $ t=\frac{11}{3}$ giây.
Trên đoạn $[1;4]$, ta có: $ v(1)=0;v(4)=-5;v\left ( { \frac{7}{3} } \right )=-\frac{16}{3}$ là tung độ đỉnh của parabol $ y=3t ^{2} -14t+11$
Do đó $\max_{t\in [1;4]} \|v(t)\|=\left | { v\left ( { \frac{7}{3} } \right ) } \right |=\frac{16}{3}$.
Vậy tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ $t=1$ giây đến $ t=4$ giây là $ \frac{16}{3}( m/s)$.
c) Gia tốc của vật là $a(t)=v ^{′} (t)=6t-14$.
Ta có: $a(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{7}{3};a(t)>0$ khi $ t\in \left ( { \frac{7}{3};5 } \right );a(t) < 0$ khi $ t\in \left ( { 0;\frac{7}{3} } \right )$.
Vật tăng tốc khi vận tốc và gia tốc cùng dấu, vật giảm tốc khi vận tốc và gia tốc trái dấu. Vậy vật tăng tốc trong các khoảng thời gian từ 1 giây đến $ \frac{7}{3}$ giây và từ $ \frac{11}{3}$ giây đến 5 giây; vật giảm tốc trong các khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây và từ $ \frac{7}{3}$ giây đến $ \frac{11}{3}$ giây.